高斯投影的复变函数表示

作者简介

内容简介

上篇 纬度论
　　在地球科学和测绘导航计算中，经常会遇到大地纬度、地心纬度、归化纬度、等距离纬度、等角纬度、等面积纬度6种纬度及其变换的计算问题。随着空间技术和计算机技术在测量、制图和导航中应用的发展，这6种纬度及其变换的研究具有更加重要的实用价值。
　　对于这一问题，国内外许多著名学者如Adams（1921）、Thomas（1952）、方俊（1958）、吴忠性（1989，1979）、华棠（1985）、孙群（1985）、熊介（1988）、杨启和（1989，2000）、Snyder（1987）、胡毓钜（1997）、钟业勋（2007）、Karney（2011）、Peter（2013）、Grafarend（2014）等人曾进行了卓有成效的研究，取得了显著的成果。但由于这一问题涉及非常复杂的数学推导，限于当时的历史条件，尚没有计算机代数系统可资利用，其间许多推导过程大都由人们手工推导完成，展开式的项数不高，有时难免会存在这样或那样的近似甚至小的错误，影响了计算精度；有的表达式复杂冗长，不便于使用，多以具体的数值形式给出，仅适用于我国1954北京坐标系和1980西安坐标系下的解算，不能满足2000国家大地坐标系下的计算需求。
　　有鉴于此，本篇利用计算机代数分析方法，借助计算机代数系统强大的数学分析能力，全面系统地研究和分析上述6种纬度的变换问题，推导和建立椭球各纬度间正反解与差异极值的符号表达式，改正以往人工导出的正解展开式系数高阶项存在的偏差，将以往反解展开式系数的数值形式改进为椭球偏心率的幂级数形式，适用于任何参考椭球。
　　第1章 常用纬度定义
　　大地纬度是测量和地球科学计算中最常用的一种纬度，但是在测量和地图投影理论推导中，为满足某种投影性质，也常会用到其他5种辅助纬度（地心纬度、归化纬度、等距离纬度、等角纬度和等面积纬度），它们都是大地纬度的函数，实际应用中经常会遇到5种辅助纬度和大地纬度的变换问题。本章将介绍以上6种常用纬度的定义，给出5种辅助纬度与大地纬度的关系式。
　　1.1 大地纬度
　　大地坐标系如图1.1所示，空间某点P的大地坐标是由大地纬度B、大地经度L和大地高H来表示的。大地纬度B是P点处参考椭球的法线与赤道面的夹角，向北为正，称为北纬（0°～90°）；向南为负，称为南纬（0°～90°）。大地经度L是P点与参考椭球的自转轴所在的面NQS与参考椭球起始子午面NGS的夹角，由起始子午面起算，向东为正，称为东经（0°～180°），向西为负，称为西经（0°～180°）。大地高H是P点沿该点法线到椭球面的距离，向上为正，向下为负。
　　图1.1 大地坐标系示意图
　　略去推导，由大地坐标转换为空间直角坐标的数学关系式为
　　（1.1.1）
　　式中：为卯酉圈曲率半径；a为椭球长半轴；e为椭球**偏心率。
　　1.2 地心纬度和归化纬度
　　在一些椭球几何关系推导中，除大地纬度外，还常常使用地心纬度和归化纬度的概念。如图1.2所示，设椭球面上点的大地纬度为，大地经度为。在过点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立、直角坐标系。设该椭圆的长半轴为，短半轴为，则椭圆方程为
　　（1.2.1）
　　图1.2 地心纬度和归化纬度的关系图
　　过点作椭圆的法线，与轴交于点，与轴交于点，则为点的大地纬度。作以原点为中心、半径为的辅助圆，延长点的纵坐标线与圆交于点，连接、，则为点的地心纬度，为点的归化纬度。
　　1.3 大地纬度、地心纬度和归化纬度的相互关系
　　大地纬度是点椭圆法线与横轴的夹角。因此，由图1.2可知
　　（1.3.1）
　　椭圆方程式（1.2.1）对求导，并将式（1.3.1）代入，得
　　（1.3.2）
　　顾及，可得
　　（1.3.3）
　　将式（1.3.3）代入椭圆方程式（1.1.1），整理后可得
　　（1.3.4）
　　由图1.2可知横坐标与归化纬度的关系为，代入椭圆方程式（1.1.1）可解出纵坐标与的关系，联立可得以归化纬度为参数的椭圆方程：
　　（1.3.5）
　　式（1.3.4）与式（1.3.5）对比，可得
　　（1.3.6）
　　式（1.3.6）两式相除，可得
　　（1.3.7）
　　式（1.3.7）即大地纬度与归化纬度的正切关系式。
　　由图1.2可知
　　（1.3.8）
　　式（1.3.8）即地心纬度与归化纬度的正切关系式。
　　将式（1.3.7）代入式（1.3.8），可得
　　（1.3.9）
　　式（1.3.9）即地心纬度与大地纬度的正切关系式。
　　1.4 子午线弧长展开式
　　子午线弧长正解问题即子午线弧长计算是椭球面测量计算中的一个基本数学问题，在数学上又称为椭圆积分，无分析解，考虑地球椭球的扁率较小，一般的做法是按二项式定理展开后逐项积分（边少锋?等，2004；熊介，1988）。子午线弧长确定（图1.3）在大地测量和地图制图中有着广泛的用途，如用于推算地球形状大小的弧度测量、地图投影中的高斯投影计算等。
　　图1.3 子午线弧长确定
　　如图1.3所示，子午线弧长可表示为如下椭圆积分：
　　（1.4.1）
　　式中：为由赤道起算的子午线弧长；为参考椭球长半轴；为参考椭球的**偏心率；为计算点处大地纬度；为计算点处子午圈曲率半经。
　　式（1.4.1）不可能用一般的积分方法求出其解，通常的做法是按牛顿二项式定理展开被积函数，再化三角函数的幂形式为倍角形式后逐项积分。这个过程人工来做比较复杂，尤其是在精度要求比较高、展至较高阶数时。但用计算机代数系统来做，则只需要几条指令，就可以实现（边少锋?等，2018）。
　　（1）用级数展开指令展开被积函数；
　　（2）用积分指令对展开式逐项积分；
　　（3）再使用化简指令，化三角函数的幂形式为倍角形式；
　　（4）使用提取系数指令，提取倍角形式的系数。
　　略去具体的运算步骤，可得展至的表达式为
　　（1.4.2）
　　式中系数为
　　（1.4.3）
　　1.5 等距离纬度
　　如图1.4所示，椭球面上由赤道至大地纬度处的子午线弧长为，现假设有一幅角为、半径为的圆所对弧长与子午线弧长在量值上相等，则有
　　（1.5.1）
　　图1.4 等距离纬度示意图
　　由于幅角所对圆弧与大地纬度所对子午线弧长相等，一般被称为等距离纬度，在高斯投影中也称为底点纬度。 地图制图、地理信息、测绘、航海导航、资源环境、城市规划等专业科研院所、生产单位科研技术人员，高等院校相关专业高年级本科生、研究生