给忙碌青少年讲数学之美：发现数字与生活的神奇关联

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数学的支柱 对于我们大多数人来说 ，数学意味着数字。对数 字的使用无疑是人类数学 之旅的起点。除此之外， 我们在此基础上还建立起 了令人敬畏的、更为广泛 的数学大厦。 众所周知，算术是加法 、减法、除法、乘法等运 算。6000年前，我们最先 发展起来抽象地理解和使 用数字的能力，然而，直 到19世纪中叶，随着集合 论的发展，算术运算严谨 的逻辑规则才被设计出来 。 你将在第2章和第3章中 了解到集合论中关于零和 无穷大理论的发展历程， 在第4章和第5章中了解数 字本身，其中涉及素数、 数字系统的基本单位以及 其他特别有趣的数字，如π 、φ、e和i等。 从17世纪开始发展的概 率论以算术规则为基础， 创建了自己的一套法则， 以处理我们周围无处不在 的偶然和不确定性事件。 它最初应用于偶然性博弈 ，20世纪，随着统计方法 在大数据分析中的应用以 及量子理论的发展，概率 论被赋予了新的意义。这 表明现实本身也是由偶然 性决定的。 第6章的主题是概率论和 统计学，第9章将讨论数字 与现实之间的关系，在那 里，你将会找到更多概率 论与量子理论的联系。 除了关于数字的理论外 ，“高等”数学还有三大重要 支柱： 1.几何学：它可能是人 们最熟悉的。它从空间开 始：形式几何学讨论空间 中物体位置相互联系的规 则，例如，三个物体形成 一个三角形。但它是对物 体的静态描述。 2.分析学：高等数学的 第二大支柱。它用来分析 随时间移动而变化的物体 。值得注意的是，它包括 由积分和微分构成的微积 分学，以及与该主题相关 的许多复杂的变分原理。 3.代数学：它使我们可 以用数字、符号和方程式 表示知识并运用它们，因 此，它是高等数学最广泛 的支柱。它涵盖了许多深 奥的主题，例如群论（群 的研究，其中群是满足某 些性质的元素集合）图论 （研究物体如何相互连接 ，例如互联网上的计算机 或大脑中的神经元）和拓 扑学（研究能够连续变形 的图形的数学，其中这种 变形不会破坏图形）。 尽管每一个庞大的主题 都值得用一本书的体量来 书写，但是通过此书，你 可以完整地领会到这些主 题所给出的见解与发现的 问题。特别是在第7章和第 8章中，你可以了解数学中 尚未解决的重大问题以及 数学在日常生活中的应用 。不过，在此之前，让我 们先来看看数学最困难的 一个哲学问题：数学的一 切从何而来？ 数学：是发明还是发现 ？ 每当我们奔跑着去接球 或在繁忙的交通中飞奔时 ，我们都会无意识地用到 数学。我们可以感知的是 ，自然界是复杂且不可预 测的，包括栖息地的改变 、捕食者的袭击和食物耗 尽等情况。一个生命体能 否生存，有赖于它对周围 环境的理解能力，无论是 通过倒计时计算出天黑的 时长、通过三角分析找出 脱离危险的最快途径，还 是评估最有可能有食物的 地方，这些都是在使用数 学：使用数字、三角学和 微积分评估位置和运动以 及权衡各种可能性。这显 示出了一个既深刻又难以 证实的真理：现实在某种 意义上是数学的。 P3-4