数学分析教程（中册）

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第17章 定积分
　　许多应用问题，如平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力做的功、非均匀杆的质量、非均匀导线上的电荷量等，都可作为“微小量的积累”的极限来计算，人们由此概括出了微积分理论的另一个重要概念——定积分，本章讲述定积分理论，包括定积分的定义、性质和计算方法，微积分基本定理，函数可积的达布准则等。
　　定积分和导数一样，是数学分析中最重要的概念之一。实际上，数学分析的别名是微积分，后一名称是微分学和积分学的合称。而积分学，则是指包括定积分在内的所有关于函数积分的理论。但在关于函数的所有各种形式的积分中，定积分是最基本和最重要的，因为其他形式的积分都是定积分的各种推广并且都必须通过化为定积分来计算，定积分概念是和导数概念同时形成的，由牛顿和莱布尼茨二人各自独立地提出，因此产生于17世纪后半叶。但其思想的萌芽早在2500年前的古希腊时期就已经出现了。阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）继承和发展欧多克索斯的“穷竭法”，推导出了许多平面图形的面积和一些立体的体积公式，现在来看，阿基米德采用的正是定积分的思想，一些研究数学史的学者说，读了阿基米德的著作，就木会对积分学的思想感到新奇了。但另一方面，正像导数的概念在牛顿和莱布尼茨那个时代并不严谨、其严格化是直到一个半世纪之后的柯西和魏尔斯特拉斯时期才完成的一样，牛顿和莱布尼茨在最初提出定积分的概念时，也没能给出这个概念的严格定义，现在所采用的定积分的定义，是他们离世一个多世纪之后的1854年由黎曼给出的，由于这个原因，定积分又叫黎曼积分。
　　7.1 定积分的概念和基本性质
　　7.1.1 定积分概念的引出
　　许多应用问题，都可作为“微小量的积累”取极限来计算。下面仅举三例来说明。
　　1. 平面梯形的面积
　　几何学的一个基本问题是求平面图形的面积和立体图形的体积。以平面图形的面积问题为例，如果这个平面图形是长方形、三角形、四边形或多边形这些以直线段为边的图形，那么它的面积是很容易计算的，但是如果这个图形有一些弯曲的边界，如圆、椭圆、曲边三角形等，则其面积的计算就没有那么简单了。在第2章一开始已经看到，即使是对圆这样最简单的以曲线为边界的图形，其面积的计算都需要使用极限。可想而知，其他更复杂图形面积的计算，也一定需要应用取极限的办法来解决。下面就应用类似于计算圆面积的穷竭法的思想，来计算曲边梯形的面积。
　　曲边梯形是指由四条边围成的平面图形，其中有一条边是曲线，其余三条边都是直线，并且与曲线相邻的两条直边互相平行。两条互相平行的直边叫做这个曲边梯形的腰，第三条直边叫做它的底。在特殊情况下，两条腰中的一条可退化为一个点，这时这个曲边梯形也叫做曲边三角形。也可两条腰都退化为点。
　　在平面上建立直角坐标系Oxy，使得曲边梯形的底边位于Ox轴上，曲边梯形位于上半平面。设底边占据的区间是，而曲线的方程是，其中，是区间上的连续函数（图7-1-1）。
　　把区间划分成一些长度非常小的小区间，其中这样的一个划分叫做区间的一个分割，点叫做这个分割的分点。在每个小区间上任取一点为高、为底边作矩形，以这个小矩形的面积近似地代替区间上的小曲边梯形的面积（局部地以直代曲——在区间上，以通过点的水平线代替该区间上小曲边梯形的弯曲的上底边，如图7-1-2所示），那么所有这些小矩形的面积之和便是曲边梯形面积S的近似值
　　图7-1-1 曲边梯形的面积
　　图7-1-2 以直代曲求面积
　　显然，分割作得越细，即越小，则上述和盯越接近曲边梯形的面积S。换言之，随着，必有，即
　　上面所说分割作得细，必须是小区间的长度都非常小，亦即非常小，而不是仅分点的个数n很大。如果只是n很大而不小，则盯可能会与曲边梯形的面积s相差很大，例如，如果取，并取，为区间中的点（取Xn =b），则无论n多么大，都有可能与s相差很大，除非点取得非常特殊，然而这样特殊的是非常难取到的。
　　例1 求抛物线y = X2与Ox轴及直线所围曲边三角形的面积。
　　解 把区间作n等分，则分点为。在每个小区间上，作以此小区间为底边、以曲线在此小区间的左端点的值为高的矩形，然后把所有这些小矩形的面积相加，得曲边三角形面积的近似值①显然，当时，该近似值趋于曲边三角形面积的精确值S，即
　　2. 变速直线运动的路程
　　设质点做变速直线运动，速度u关于时间t的依赖关系是v=v（t）。在时间段里，该质虑所走过的路程S是多少？
　　类似于曲边梯形面积的求法，把时间段作分割，设分点为。对每个，把时间段里质点的运动近似地看成以为速度的匀速直线运动，则在这个时间段里质点走过的路程近似地为，因此时间段里，质点所走过的路程s的近似值为
　　记。则当时，上式的极限就是s的精确值，即
　　例2 已知自由落体运动是匀加速运动，即加速度g（重力加速度）是常数，进而速度。据此求自由落体在时间段[0，T]里所走过的路程s。
　　解 把时间段[0，T]作n等分，则分点为。在每个小时间段里，以质点在此小时间段开始时的速度作近似值，求得质点在此小时间段里所走过的路程的近似值为，从而在时间段[0，T]里质点所走过的总路程的近似值为
　　令，得自由落体在时间段[0，T]里所走过的路程s的精确值
　　3. 河流的水流量
　　河流里水流量每年的变化情况，是反映气候变化和影响工农业生产的重要信息，国家必须对此信息有清楚的了解。流经一条河流每年的水流量，可以通过在这条河流里选择一些观测点设置水位标尺和流速仪，再运用与前两例类似的方法计算获得。设某条河流在某个观测点的横截面如图7-1-3所示，已知该点赴河流宽度为a（m），水位标尺以下部分横截面的面积为，测得该点处水位随时间t（s）变化的函数关系为，流经该点的水的流速随时间变化的函数关系为，求在时间段[0，T]里，流经该观测点的总水量Q（m3）。
　　图7-1-3 河流的横断面
　　由以上所列条件知，流经该观测点的水流密度为
　　对时间段[0，T]作分割，设分点为。对每个，把时间段里水的流动近似地看成等流密度的流动，则在这个时间段里流经该观测点的水的体积为，其中因此在时间段[0，T]里，流经该观测点的水的总体积Q的近似值为记。则当时，上式的极限就是Q的精确值，即
　　7.1.2定积分的定义
　　上面介绍的这些例子，虽然问题的来源不同，但它们的数学表现形式却都类似，即已知定义在区间上的函数，，需要先把区间作分割：
　　（7.1.1）
　　并在每个小区间上取点，然后作和
　　最后再使而求上述和的极限
　　由于这类问题的广泛性，有必要把它们作为一个专门的课题进行研究，这就引出了函数，在区间上的定积分的概念。在给出定积分的定义之前，需要先介绍几个名词和记号。
　　用符号△表示区间[a，b]的任意一个分割，即△是满足条件（7.1.1）的一组分点的集合
　　记，并令叫做分割△的模；越小，则称分割△越精细，对于从这个分割所得到的每个小区间，如前所取的点叫做介点，它们的集合记作，即，称为从属于分割△的介点集，而和叫做函数，对应于分割△和介点集三的积分和，记作，即
　　与数列的极限和函数的极限概念类似，引进积分和的极限的概念。
　　定义7 .1.1 如果存在与分割△和介点集无关的实数I，使对任意给定的，都存在相应的，使当时，都成立
　　则称当趋于零时，积分和以I为极限，记作
　　当然也可写出积分和的具体表达式而记作
　　现在便可给出定积分的定义。
　　定义7.1.2 设f是定义在区间上的函数。对区间的任意分割△和任意介点集，作f的相应的积分和。如果这个积分和在时有极限I（自然，I应当是与分割△和介点集无关的实数），则称函数，在区间[a，b]上可积，并称极限值I为函数f在区间上的积分，记作
　　因此
　　因此，暂时不要考虑函数的可积性问题，即认为所涉及的函数都是可积的，那么上面举的三个例子可分别写成
　　（1）由曲线可y=f(x)和Ox轴及两条铅直线x=a，x=b（a<b）所围曲边梯形的面积是 教师，学生