从√2谈起(典藏版院士数学讲座专辑)/中国科普名家名作

作者简介

张景中，数学家，中国科学院院士。 多年从事几何算法和定理机器证明研究，其成果曾获国家发明二等奖，中国科学院自然科学一等奖，国家自然科学二等奖。 热心数学教育，提出教育数学的思想，并从事中学教学改革和微积分教学改革的研究。 热爱科普事业，其所著《教育数学丛书》曾获中国图书奖，《数学家的眼光》等科普作品曾获国家科学技术进步二等奖、第六届国家图书奖、“五个一”工程奖、全国科普创作一等奖。所主编的《好玩的数学》丛书获国家科学技术进步二等奖。

内容简介

第七章 天衣无缝的数直线 数学史上最让人惊奇的事情之一，是实数系的 逻辑基础竟迟至19世纪后叶才建立起来。 正整数是容易理解的，简单的计数就要用到它 。3岁的孩子，也会数他手中的水果糖。 分数也是容易理解的。因为它可以归结为整数 之比。 但是，无理数的本质是什么？直到18世纪，无 理数对数学家们来说仍然是一个谜，但人们又不能 不和无理数打交道。 随着农业生产的发展，人们为了掌握季节变化 的规律，需要天文知识，要测算日月星辰的位置。 这样三角学发展起来了。√2被发现400多年后，人 们已会计算许多角度的三角函数值，这些值绝大多 数是无理数。 到了1500年前后，人们不但会解二次方程式， 而且开始会解一些特殊的三次方程式了。这些方程 式的根，很多是无理数。 又过了不到100年，纳皮尔（1550年-1617年） 发现了对数。我们知道，有理数的对数差不多都是 无理数。 无理数的广泛使用，促使越来越多的数学家开 始探讨无理数的实质。 对无理数，有的数学家坚持不承认主义。他们 认为，尽管为了研究几何问题不能不用到无理数， 但我们想把它数出来的时候（用小数表示出来）， 它们就无止境地往远跑，使我们无法准确地掌握它 ！既然缺乏准确性，又怎么能叫做数？所以，无理 数不是数，它是隐藏在无穷迷雾后面的某种东西。 也有不少数学家认为，无理数是地地道道的数 ，因为无理数可以表示实实在在的几何量，可以用 有理数来逼近；但他们也没有提出无理数的系统理 论。 还有很多数学家，像中国、印度等东方国家的 数学家，他们大胆地应用无理数，并不关心无理数 的本身是什么。他们不觉得这里面有多大逻辑上的 缺陷。 顺便提一下，当时，由于解二次以上的代数方 程式，负数和虚数也开始在运算中使用。16世纪的 欧洲数学家们，被负数、无理数、虚数弄得晕头转 向，就像刚上中学的中学生，觉得这是一些难以理 解的“怪物”。 随着科学的发展，负数被大家理解了，虚数也 得到了合情合理的说明；但无理数之谜的谜底，直 到19世纪中叶，才被真正揭开！ 这是因为，由于19世纪的工业技术革命，机器 被大量使用，人们在生产实践中提出了许多新问题 ，促使微积分迅速发展。微积分要研究变量，变量 被人们理解为“连续变化”的量。什么叫连续变化 呢？比如，x连续地从0变到1，这是什么意思？你可

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