2023教师招聘考试专用教材?学科专业知识?中学数学

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学科专业知识·中学数学PART 1第一部分初等数学学科知识 第一部分/第一章预备知识第一章预备知识第一节集合与映射一、集合的概念及表示方法 考点1集合的概念 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合，简称为集。我们通常用大写的拉丁字母A，B，C，…来表示集合，用小写的拉丁字母a，b，c，…来表示集合中的元素，如B={a，b，c}。 给定一个集合，它的元素必须是确定的，即对于给定的集合，那么一个元素在或不在这个集合就确定了。如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA。此外，给定集合中的元素还必须是互不相同的。 图1-1-1数学中常用集合及其记法：表示空集（不含任何元素的集合），N表示自然数集，N*和N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，C表示复数集。 我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图，如图1-1-1。韦恩图可以直观地呈现出集合间存在的一些关系。 考点2集合的表示方法 自然语言法：用自然语言的形式来描述集合。如A={小于5的所有自然数}。 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法。如A={0，1，2，3，4}。 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。如A={x∈Nx<5}。 二、集合间的基本关系★★考点1相等关系如果构成两个集合的元素是一样的，即集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，集合B中的任意一个元素都是集合A中的元素，那么称集合A与集合B相等，记作A=B。 【例题1】已知集合M={x2，1}，N={x，1}，若集合M=N，则实数x的值为。 【答案】0。解析：根据集合相等的定义可知，M=N，则有x2=x，解得x=0或1。容易验证，x=0时，M=N={0，1}，满足集合的定义；x=1时，N={1，1}不满足集合元素互不相同的性质。因此，实数x的值为0。 考点2包含关系 图1-1-2对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）。韦恩图表示如图1-1-2。 注：根据集合相等的定义可知，A=B  AB，且BA。 子集的性质：（1）AA；（2）若AB，BC，则AC。 对于两个集合A，B，如果集合AB，但存在x∈B，且xA，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。 对于任意一个集合A（可以是空集），都有A（因为不存在元素x满足x∈，且xA）。对于任意一个非空集合B，都有B。 如果集合A有n（n∈N*）个元素，那么它有2n个子集，2n-1个真子集。 三、集合的基本运算★★★ 表1-1-1集合的基本运算 运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫作A，B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={xx∈A且x∈B}由所有属于A或属于B的元素所组成的集合叫作A，B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={xx∈A或x∈B}设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集（或余集），记作 ？瘙 綂 UA，即 ？瘙 綂 UA={xx∈U且xA}韦恩图示性质A∩A=A A∩= A∩B=B∩A A∩BA A∩BBA∪A=A A∪=A A∪B=B∪A A∪BA A∪BB（ ？瘙 綂 UA）∩（ ？瘙 綂 UB）= ？瘙 綂 U（A∪B） （ ？瘙 綂 UA）∪（ ？瘙 綂 UB）= ？瘙 綂 U（A∩B） A∪（ ？瘙 綂 UA）=U A∩（ ？瘙 綂 UA）=（2021江西高中）已知集合A={1，2，3，4}，B={yy=3x-2，x∈A}，则A∩B=（）。 A.{1}B.{4} C.{1，3} D.{1，4} 【答案】D。解析：因为A={1，2，3，4}，B={yy=3x－2，x∈A}={1，4，7，10}，所以A∩B={1，4}。故本题选D。 四、映射 1.映射的定义 设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素a，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的元素b和它对应，那么就称f是从集合A到集合B的一个映射，记作 f：A→B，ab， 其中b称为a在f下的象，a称为b在f下的一个原象。 2.单射与满射 设A，B是两个非空集合， f为从集合A到集合B的一个映射， 如果集合A中不同的元素在f下有不同的象，那么称f是单射； 如果集合B中的每一个元素在f下都有至少一个原象，那么称f是满射； 如果映射f既是单射又是满射，那么称f是一一映射（双射）。 【例题2】设集合A={1，2，3，…，10}，B={1，2，3，…，100}，下列哪个对应法则是集合A到B的映射？（） A.f：n→n-1B.f：n→n+1 C.f：n→n2-1D.f：n→n2+1 【答案】B。解析：A项，集合A中的元素1在集合B中没有对应的象，不满足映射的定义；C项，集合A中的元素1在集合B中没有对应的象，不满足映射的定义；D项，集合A中的元素10在集合B中没有对应的象，不满足映射的定义。只有B项中的对应法则，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有对应的象，满足映射的定义。 第二节常用逻辑用语一、命题的定义与四种命题考点1命题的定义一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。我们常用小写字母p，q，r，…来表示命题。 考点2四种命题 对于大部分命题，我们都可以将其改写成“若m，则n”的形式，如“垂直于同一条直线的两个平面平行”就可以改写成“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”。我们把命题“若m，则n”中的m叫作命题的条件，n叫作命题的结论。 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆命题。 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫作互否命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题。 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么称这两个命题互为逆否命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题。 综上，设“若m，则n”是原命题，那么 “若n，则m”是原命题的逆命题； “若m，则n”是原命题的否命题； “若n，则m”是原命题的逆否命题。 考点3四种命题间的相互关系 一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的关系，如图1-1-3所示。 图1-1-3 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。 二、充分条件与必要条件★★★考点1充分条件与必要条件的定义一般地，“若m，则n”是真命题，是指由m通过推理可以得出n。此时，我们称，由m可推出n，记作 m  n， 并说m是n的充分条件，n是m的必要条件。 如果“若m，则n”是假命题，那么称由m推不出n，记作 mn， 并说m不是n的充分条件，n不是m的必要条件。 如果既有m  n，又有n  m，那么称m等价于n，记作 m  n， 并说m是n的充分必要条件，简称充要条件。 显然，如果m是n的充要条件，那么n也是m的充要条件。概括地说，如果m  n，那么m与n互为充要条件。 【例题1】“x=0”是“xy=0”的（）。 A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B。解析：“x=0”能推出“xy=0”，而“xy=0”只能推出“x=0或y=0”，不能推出“x=0”，所以“x=0”是“xy=0”的充分不必要条件。 （2021山西忻州定襄）已知x∈R,则“x≠0”是“x+x>0”的（）。 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B。解析：当x=-2时，x+x=0，满足x≠0，但不满足x+x>0，充分性不成立；当x+x>0时，x>0，满足x≠0，必要性成立，所以“x≠0”是“x+x>0”的必要不充分条件。故本题选B。 考点2集合关系与逻辑推理关系 对于条件m和条件n，设A={xx满足条件m}，B={xx满足条件n}。 ①若AB，则m  n，即m是n的充分条件； ②若BA，则n  m，即m是n的必要条件； ③若A=B，则m  n，即m是n的充要条件； ④若AB，则m  n，且nm，即m是n的充分不必要条件； ⑤若BA，则n  m，且mn，即m是n的必要不充分条件。 【例题2】设x∈R，则“x-2<1”是“x2+x-2>0”的（）。 A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.充分不必要条件 【答案】D。解析：由x-2<1得10得x>1或x<-2。因为（1，3）是（-∞，-2）∪（1，+∞）的真子集，所以“x-2<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件。 三、逻辑联结词★★考点1“且”“或”“非”用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作 p∧q， 读作“p且q”。如命题p：“3是质数”，命题q：“3是奇数”，用“且”联结构成的新命题p∧q：“3是质数且是奇数”。 用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作 p∨q， 读作“p或q”。如命题p：“△ABC是锐角三角形”，命题q：“△ABC是钝角三角形”，用“或”联结构成的新命题p∨q：“△ABC是锐角三角形或钝角三角形”。 对命题p全盘否定，得到一个新的命题，记作 p， 读作“非p”或“p的否定”。如命题p：“12是3的倍数”的否定p：“12不是3的倍数”。 考点2p∧q，p∨q，p的真假 对于p∧q，p∨q，p的真假，规定如下。 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题。 当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q都是假命题时，p∨q是假命题。 当p是真命题时，p是假命题；当p是假命题时，p是真命题。 【例题3】已知命题p：若x>y，则-x<-y；命题q：若xy2。给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧（q）；④（p）∨q。其中真命题是（）。 A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 【答案】C。解析：不等式x>y两边同乘-1得，-x<-y，故命题p为真命题。当x=-1，y=1时，x