理性的边界(人类思维与世界的复杂关系)

作者简介

诺桑·亚诺夫斯基，美国数学家、物理学家、计算机科学家，纽约城市大学计算机和信息科学教授。他继承数学大师塞缪尔·艾伦伯格“范畴论”的衣钵，并在量子力学、哲学和语言学方面发表了大量研究论文，获得了美国科学和数学界的多个奖项。他还著有《元范畴》和《计算机科学中的量子计算》等书。

内容简介

人类对事物的理解总是伴随着矛盾的情绪。一方面，一旦我们了解了什么事物，我们常常会觉得它乏味平庸，甚是无趣。另一方面，神秘未知的事物总是令人着迷，吸引着我们的注意力。这些我们不知道或不了解的事物激发着我们的兴趣，而那些我们无法知道的事情*令我们心驰神往。理性告诉我们，一些事物我们无法理解，是因为它们超出了理性的边界，本书中将就此主题进行探讨。 许多图书透过科学、数学和理性向我们揭示了令人惊叹的事实。还有一些书探讨的是科学、数学和理性尚未**解释清楚的主题。本书有点不同，我们在这里研究的是，科学、数学和理性告诉我们的哪些事物是不可能被揭示的。什么是无法被预测或了解的？什么是永远不会被理解的？什么是被计算机、物理学、力学和我们的思维过程所局限的？什么是理性的界限之外的？本书致力于回答其中的一些问题，书中的许多想法也对我们关于宇宙、人类理性以及我们自身根深蒂固的观念提出了挑战。 在这条道路上，我们将研究需要数万亿个世纪才能解决的简单计算机问题；思考结构上无懈可击但毫无意义的句子；了解无限的不同层次；进入匪夷所思的、奇妙的量子世界；讨论计算机永远不可能解决的具体问题； 与带来暴风雪的蝴蝶交朋友；思忖在不同的派对上同时起舞的粒子；认识悖论和自指悖论；看一看我们对空间、时间和因果关系的朴素认知在相对论面前会得到怎样的教诲；理解哥德尔关于逻辑局限性的**定理；探寻一些无法解决的数学和物理学问题；探索科学、数学和理性的真正本质； 探究为什么这个世界看上去对人类来说如此**；并检视我们的思维、理性与物质世界之间的复杂关系。我们还将试着向理性的边界之外窥视，看看那里有些什么东西。以上这些内容以及其他许多令人着迷的话题将以清晰易懂的方式呈现在读者面前。 在探索各个领域的这些局限性时，我们会发现，众多不同方面的局限性拥有相似的模式。本书将研究这些模式，以便读者*好地理解理性及其局限性。 本书并不是一本可以证明理性局限性的全部范例的汇编。我们的目标是理解为什么会出现这些界限，以及为什么理性不能逾越这些界限。我们在每个领域挑选数个有代表性的局限性范例，并对它们进行深入探讨。 我不会只是列出这些局限，我的目标是解释它们，或者至少直观地说明为什么某一特定领域会超出理性的边界。读者需要知道这本书并没有投机的意图，也无意开创什么新时代。它也不是一本历史书，我不会在里面用精心雕琢的辞藻粉饰名词的意义，也不会一门心思地关注它们按照年代顺序发展的历程。这是一本通俗的科普读物，它将循序渐进且清楚明晰地阐述其中的思想。 斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）有一句名言，每个方程式会让读者的数量减少一半。我很认同这句话，所以这本书里的方程式很少。我相信图表和图形能够将复杂的概念以简洁的方式表达出来。清楚明晰是我的目标。 每一章探讨一个不同的领域：科学、数学、语言、哲学等。这些章节的内容按照从具体到抽象的逻辑进行排列。我会从使用*常语言的简单问题开始，过渡到容易理解的哲学问题，以抽象的数学世界作为结尾。在大多数情况下，这些章节是彼此独立的，以任何顺序阅读都可以。建议读者从自己*感兴趣的主题开始阅读。 科学和技术的发达程度可以作为衡量文明的标准。科学和技术越发达，相应的文明越**。我们的文明被认为比原始社会***，这要归功于我们取得的所有科技成果。相比之下，如果某个外星文明造访地球，我们的文明就会被认为是原始的，这几乎是不言而喻的，因为它们掌握了星际空间的旅行技术，而我们没有。使用科学和技术作为衡量标准的原因在于：这些活动是人类文化的各个方面中**以自身为基础进行构建的。后人蒙前人福荫，继往开来。迄今*伟大的科学家之一艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1**3—1727）对此做了十分精妙的表述：“如果我（比别人）看得*远，那只是因为我站在巨人的肩膀上。”科学的发展是这样一种持续不断的积累，因此它很适合作为比较不同文明的标尺。与科学和技术形成对比的是，人类文化的其他方面如艺术、人际关系、文学、政治、道德等，都不能说是以自身为基础进行构建的。[3] 衡量文明的另一种方式是看它在多大程度上摒弃了不科学和非理性的观念。现今社会*加**，因为我们已经将炼金术当作傻乎乎的梦想丢进了垃圾桶，转而潜心研究化学。几个世纪以来的占星学论著都被视为胡言乱语，但我们保留了对天文学的研究。随着文明的进步，它会将自身的观念和神话置于逻辑分析的框架中，抛弃超出理性范围的内容。 在进步的过程中，文明使用的工具是理性。理性和推理是社会进步使用的方法论。某种文化若合乎理性，它就会进步。当它偏离理性，或者跨出理性的界限，它就会停滞不前甚至倒退。 理性有很多种形式。按照广义的（或许也是不甚**的）概念，科学是我们用来描述和预测可度量的实体世界的语言。数学*为抽象，可以分成两个领域：应用数学是科学的语言，而纯数学是理性的语言。逻辑学也是一种理性的语言。因为科学、技术、理性、逻辑和数学是相互联系的， 因此我对其中任何一种事物的描述通常也适用于其他事物。有时候我会只用理性（reason）一词来替代它们所有。 千百年来，哲学家们一直在反思和争论哪些东西是人类有能力知道的， 又有哪些东西是人类不可能知道的。这个探讨人类知识及其边界的哲学门类被称为认识论（Epistemology）。虽然这些哲学家提出的观念十分引人入胜，但他们的作品并不是我们在这本书里关注的焦点。相反，我们感兴趣的是，科学家、数学家和当下的研究者们对于人类的知识与理性的边界的阐述。 现代科学、数学和理性*了不起的一点在于它们已经发展得**成熟，到了能够看清自身局限性的水平。*近，科学家和数学家已经加入哲学家的行列，共同讨论人类认识世界之能力的局限。而理性在科学上的局限性正是本书的主题。 下面这个可爱的小游戏能让我们初步了解理性的局限是什么意思。[4] 这个游戏**有趣，很值得思考，而且强烈**其作为任何*尾酒派对上的益智挑战。找一张普通的 8×8 **象棋棋盘和一些尺寸为 2×1 的多米诺骨牌，尝**多米诺骨牌盖住整张棋盘。 棋盘上有 ** 个方格，每个多米诺骨牌覆盖两个方格，所以一共需 要 32 个多米诺骨牌。完成这项任务的方式有数百万种之多。图 1.1 展示了我们开始进行这个过程的一种可能性。 这的确很简单。现在让我们尝试一项*有挑战性的任务。在棋盘对角的两个方格上各放置一枚代表王后的棋子。现在再来试试盖住除了这两个方格之外的所有方格，如图 1.2 所示。需要覆盖的方格是 62 个，意味着一 共需要 31 个多米诺骨牌。试试看！ 尝试了一会儿并发现自己无法盖住每个方格之后，你可能会考虑将这个小游戏展示给别人——尤其是那些游戏迷。他们也会有相似的体验。你或许想找一台计算机来解决这个问题，因为机器可以迅速尝试多种可能性。开始在棋盘上放置多米诺骨牌的方式即使没有几十亿种，也有数百万种之多。然而，没有任何人或任何计算机能够完成这项任务。 将 31 个多米诺骨牌放置在一张**象棋棋盘上，这个简单的问题之所 以看上去那么困难，是因为它是无法做到的。它不是一个困难的问题；它是一个不可能解决的问题。实际上要解释这一点倒是很容易。每个多米诺骨牌都是 2×1 的尺寸，所以必须在棋盘上占据 1 个黑方格和 1 个白方格。 图 1.1 中的棋盘有 32 个黑方格和 32 个白方格需要覆盖。棋盘上的黑白方格 是**对称的。相比之下，图 1.2 中的棋盘只有 30 个黑方格和 32 个白方 格需要覆盖。然而因为每个多米诺骨牌必须覆盖 1 个黑方格和 1 个白方格， 所以这 62 个方格无法用多米诺骨牌全部覆盖。移动棋子的位置，让一个王后位于黑方格上，另一个王后位于白方格上。现在再来试试看。 这个小游戏有很多美妙的特点。它容易解释，易于游戏者尝试寻找解决方案，而且还可以通过使用计算机尝试解决问题。然而它无法解决。不是因为我们不够聪明，不能解决这个问题，也不是因为这个问题超出了当下技术水平的能力，它根本就是无法被解决的。这个问题无法被解决，这不是某位人士的意见，而是放之四海而皆准的事实。理智告诉我们，我们解决这一问题的能力存在局限。这个问题*棒的部分在于，它为什么无法解决的理由很容易被解释。一旦陈述出这个理由，你就会被**说服，不再为之烦心。本书将展示许多诸如此类无法解决的问题和局限。 在下文中，我将对本书涵盖的局限类型进行分类介绍，而不是按照顺序给出每一章的概要。对于每一类局限，我将列出来自不同章节的例子， 这将让本书呈现出*富于整体性的结构。 关于局限的例子十分丰富。计算机科学家已经向我们展示过，有很多任务是计算机无法在一段合理的时间之内完成的（第 5 章）。他们还发现，有些任务是计算机无论花多长时间也完成不了的（第 6 章）。物理学家讨论了这个世界的复杂程度，而有些现象复杂到科学和数学都无法对其进行预测（第 7 章第 1 节）。数学家发现某些类型的方程无法用正常方法求解（第9 章第 2 节）。逻辑学家已经证明，论证的力量是有局限的。他们描述了一些为真但无法被证明的逻辑语句（第 9 章第 4 节）。语言哲学家指出，对于这个我们自身生活在其中的世界，我们的描述能力是*到局限的（第 2 章）。还存在其他一些类型的局限，而且从某种意义上说，这些局限拥有*深的层次。这些局限表明，我们对自身生活的世界以及我们与这个世界的关系的朴素直觉是错误的。我们对宇宙及其性质的思考方式必须升级。每个物体都有一个客观定义，这是我们的一条基本假设，但它需要被重新评估（第 3 章第 1 节）。古典哲学家齐诺（Zeno）表示，我们对空间、时间和运动的常规认识需要做*深入的分析（第 3 章第 2 节）。量子力学已经教会我们，知道者和被知道的事物之间的关系并不简单。物理学的这一分支向我们展示，世界比此前设想的关联*紧密（第 7 章第 2 节）。研究者发现，我们对于无限的简单直觉是错误的，需要修正（第 4 章）。相对论表明，我们对空间、时间和因果关系的认知是错误的，需要*正。物理学家指出， 不存在对长度或持续时间的客观测量（第 7 章第 3 节）。我们、我们的世界，以及我们用来描述世界的科学和数学，这些事物之间的关系并不简单（第 8章）。本书后面的内容将深入探讨所有这些以及其他*多主题。上述局限的展现方式有许多种。比较有趣的方式之一是悖论（para-dox）。这个词来自希腊语前缀 para-（“与之相反的”）和 doxa（“意见”）。《牛津英文词典》给出了许多互相重叠的定义，包括： ? 与被人们广为接*的观点或信仰相反的陈述或理念。（例如：“二手烟对你来说没有那么糟糕。”“**并不总是*好的**。”） ? 一种听上去十分荒谬或自相矛盾的陈述或命题，或者让人感到强烈地违反直觉，然而对其进行调查、分析和解释，却发现它是根据充分的或真实的。（例如，“长期来看，股票市场不是个投资的好地方。”“站立比步行*费力。”） 对我们而言，*重要的定义是： ? 一种论证过程，它基于（表面上）合理的前提并使用（表面上）有效 的推理，得出的结论违反常识，在逻辑上不合理或者自相矛盾。 这些悖论将会是我们关注的重点。悖论先得有一个前提或假设，然后用有效的逻辑推理推导出谬误。我们可以将悖论的推导过程表示如下： 假设?谬误。 由于谬误是不应该发生的，而我们的推导过程使用的是有效的逻辑推理，那么**的结论就是我们的假设是不正确的。在某种程度上，悖论是一种测试，可以看出某个假设是否能合理地置于理性的检验之下。如果使用有效的推理从假设推导出谬误的话，那么假设就是错误的。出现悖论表明我们已经跨过了理性的边界。从这个意义上说，悖论是不正确观点的指针。它指出这样一个事实，即假设是错误的。既然假设是错误的，它就不能置于理性的检验之下。这是理性的一种局限。 在大多数情况下，我们遇到的谬误类型是矛盾。我所说的矛盾，是指一件事看上去既是真的，同时又是假的。可表示如下： 假设?矛盾。 由于世界上不会存在这样的矛盾，所以假设一定有问题。例如，在第 6 章中，如果我们假设一台计算机能够执行某项特殊的任务，那么我们就会在其他特定的计算机上推导出矛盾。既然计算机这样的物体不会存在矛盾， 那么我们的假设一定有问题。 悖论的论证方式与一种常见的数学论证方法是相同的。下面要介绍的就是“矛盾证明法”（proof by contradiction），即“反证法”，拉丁语表示为 reductio ad absurdum（归谬法）。如果你想证明某个命题是正确的，只要假设这个命题是假的，并推导出矛盾即可： 命题为假?矛盾。 由于矛盾在数学推理的世界中是不允许出现的，那么假设一定是不正确的，也就是说原命题为真。我们来看一个简单的例子，对数字 2 的平方 根不是有理数这一命题的数学证明（第 9 章第 1 节）。如果我们假设数字 2 的平方根是有理数，就会推导出矛盾。我们由此得出结论，数字 2 的平方 根不是有理数。在第 4 章第 3 节中，如果我们假设某两个特定的集合大小相等，我们就会推导出矛盾。我们由此得出结论，其中一个集合必然大于另一个集合。利用矛盾进行证明的例子无所不在。 悖论的推导并不需要一个十分成熟的矛盾。只要推导出一个与观察结果不符或者虚假的事件即可： 假设?虚假的事件。 再一次地，因为我们推导出了谬误，所以我们的假设一定是错误的。齐诺悖论就属于这个类型（第 3 章第 2 节）。齐诺先做出某种假设，然后推导得出结论，即运动是不可能的。任何曾在街道上行走的人都知道，运动无时无刻不在发生，所以齐诺的假设是错误的。齐诺悖论的难点在于找到假设的荒谬之处。 在很多情况下，悖论出现的时候将此前隐藏的假设暴露得无所遁形。这些假设可能深植于我们的意识之中，以至于我们压根不会认真思考它们。这些悖论将挑战我们对自身生活在其中的世界的直觉。在发现我们的直觉是虚假的之后，我们就可以抛弃它们，继续向前探索。美国哲学家威拉德·范奥曼·奎因（Willard Van Orman Quine，1908—2000）雄辩地写道： 形成悖论的论证会暴露出某种隐藏前提或预设观念的荒谬之处， 而这些前提或预设观念此前被认为是物理理论、数学或思维过程的重要基石。因此，在看起来*无关紧要的悖论中可能隐藏着灾难。悖论的发现导致人类思维的基础发生重要的重构，这样的情况在历**发生过不止一次。 探索悖论并寻找其假设，这种方法将是贯穿本书的一大重点。 某些特定类型的悖论在我们讲述的故事中扮演着重要的角色。自指悖论是这样一套悖论系统，系统中的对象可以处理/ *纵自身。自指悖论的经典案例是所谓的说谎者悖论。思考下面这句话： “这个句子是假的。” 如果这个句子是真的，那么根据它对自身的描述，这个句子实际上是假的。如果这个句子是假的，那么既然这个句子已经表达了自己的谬误， 那么这个句子就是真的。这便是货真价实的矛盾。这个问题之所以会出现， 是因为语句能够描述自身的真实和虚假。例如，“此句有五字”是个合理的句子，因为它表达了自身的某种正确属性。相比之下，“此句有六字”就是关于自身的虚假陈述。我们将看到，只要某个体系能够讨论关于自身的性质，就会出现导致悖论的情形。我们会发现，语言、思维、集合、逻辑、数学和计算机全都是能够处理自身的体系。在上述每个领域内，自我指涉的潜力都将导致悖论，从而产生某种类型的局限性。令人惊讶的是，虽然这些领域彼此之间极为不同，但悖论的形式都是相同的。 我们对世界了解得越多，对自己所不知道的东西就越清楚，发现可能之局限的方式，就是比可能走得*远！ 一本比肩《世界观》和《为什么》的科学哲学通识，探索科学的极限，挑战人类对宇宙、理性和自我的根深蒂固的信念。 欧洲数学学会、得克萨斯大学哲学系、麦吉尔大学计算机系、伯尔尼大学哲学研究所**阅读！