数学有什么用？学校里没教过的数学趣史

作者简介

斯蒂芬·布伊斯曼：20岁即获博士学位的数学奇才。 出生于1995年。本科就读于荷兰莱顿大学读计算机科学和哲学专业。 18岁获得哲学硕士学位。仅用1年半、20岁时即获得瑞典斯德哥尔摩大学的博士学位。目前从事数学哲学领域的研究。 他的著作包括：《和阿基米德喝咖啡：理解数学才能更好地理解世界》《人工智能变得越来越智能：看看屏幕后面》《数学：我们如何在不刮胡子的情况下使用数学》等。

内容简介

第八章 数学的终极之用 数学带来的帮助 我们已经探讨了两个大问题：是什么让数学变得有用，以及这是否纯属巧合？但是，我们为什么应该以这种方式使用数学？正如我前面讲过的，并非所有事都必须借助数学才能干成。看看皮拉罕人和第二章中介绍的其他文化群落。他们可以在不使用数学的情况下很好地处理数量、形状、社会组织、变化等。如果有人向他们演示了如何制造机器，我敢肯定，他们也能学会所有必要的步骤，然后自己完成。归根结底，机器和建筑里没有数学。人们不需要借助数学也能做成很多事情，只是会难得多。 数学理念和现实之间结构上的相似性，意味着数学能让我们更简单地解决实际问题。数学简化现实。你只需专注于结构，不必掌握所有细节。我们看不出 21条面包和 22条面包之间的区别，但只要你把它们整齐地排成两行，立刻就能看到其中一行略长了一点。从本质上说，这正是数学给我们带来的帮助。 以天气为例。长期以来，我们预报天气并不会用到数学，现在我们也可以这样做。我们只需要非常详细地研究当前的天气，然后思考它可能发生什么变化。如果风从东边吹过来，而且我们看到那个方向正在下大雨，那我们可以相当确定，雨快要来了。但要跟踪所有微小的差异和改变非常困难；如此多的变化来得如此迅速，我们就是无法掌握，也肯定没有那么多时间。你固然可以把所有事情记录在一本大书上，然后花100年时间把它们全都弄清楚，但这对任何人都没好处。 数学帮助我们专注于天气最重要的方面，例如气流以及它们随时间如何变化。当然，我们可以把这些计算交给计算机，这也有帮助，不然我们还是没办法用公式来做天气预报。我们之所以能预报天气，这得感谢微积分。要是没有它，即例是计算机也无法预测天气。 所以，数学帮助我们的方式是把复杂的事情变得简单。你之所以会使用某种数学方法，是因为数学和现实的结构之间存在相似性。多亏了这样的相似性，你才能忽略现实世界中的细节。你可以让时间停滞，然后慢慢审视天气的所有细节。或者你可以忽略人与人之间的所有差异，只专注于平均收入或政治偏好。这让问题变得好解决多了。 本书中讨论的很多数学正是这样运作的。但有时候，数学发挥的作用也表现在其他方面：它可能带来新的解决方案。我们在第一章中看到了这方面的一些例子。 数学常常给物理学领域带来惊喜。科学家保罗·狄拉克和奥古斯丁·菲涅耳在算出意料之外的结果后做出了新的发现。和炮弹的例子一样，他们关于粒子和光的实验得出的结果看起来不可思议，但这些结果后来被证明是正确的。数学比我们所以为的更契合现实；它甚至向我们揭示了我们自己还没注意到的事情。 我们不知道怎么会发生这样的事。数学为什么运转得这么好，这是个未解之谜。事实上，如果它真的这么有用，那我们不应该仅仅是走运而已。数学如何简化问题，我们已经看得比较清楚了，但它如何帮助我们发现新的理论，为什么看起来很奇怪的结果有时候会导向新的发现，这些问题的答案远没有那么明确。但这丝毫不会削弱数学的特殊性。 在我们的日常生活中也一样 这些新发现通常出现在科学领域。大多数人可能都不会频繁使用数学，所以没机会亲自见识数学预测的奇怪结果。但即使我们亲自用到数学的机会不多，数学在我们的日常生活中也很有用，因为它让我们周围的世界变得更容易理解。我们离开中学后就不再需要使用微积分，和所有那些我们花费了太多时间盯着看的公式一样，如果够幸运的话，我们几乎永远不会再看到它们。就连我都不需要使用它们，而且我还是个数学哲学家。所以，即使如此，为何我还要一再强调，我们需要对数学有一定的了解？ 经常间接地与我们发生关系的事物绝不止数学一种。想想汽车发动机和政治，这二者对我们的生活都有重大影响。如果没有轿车，四处活动对我们来说会难得多，而要是没有卡车和小货车，我们购买、使用商品会变得更麻烦。政治也一样。笼统地说，我们大部分人不会直接接触政治，但政治决策影响着我们每一个人。汽车发动机和政治对我们的生活有着间接但深刻的影响。但是，这是否意味着我们必须知道它们如何运作呢？ 对汽车发动机来说，这样的想法有些疯狂。汽车司机不需要知道他们的车如何运作，他们唯一需要知道的是车能开就行。一台不一样的发动机并不会给你的生活带来太大改变，比如，从汽油车换成电车。你的车一直往前开，经济也一直在运转。它可能更环保，但没有本质上的区别。 对政治而言，情况就不一样了。小一些的变化，例如一项新的法律是否通过，也会影响到我们的日常生活。所以，我们在学校里都会学习政治体系如何运作。虽然政治有时候可能看起来距离你的日常生活十分遥远，但了解一些政治的运作机制显然十分重要。你固然不会每天跟政治打交道，但这并不意味着了解政治的运作机制就不重要。 数学也一样，尽管数学的不同领域之间存在差异。那些特别理论化的学科，例如集合论，几乎和日常生活完全无关，所以我在这本书里没有提到它。但即便是我们经常应用在实践中的那些数学领域，它们之间也存在巨大的区别。积分和微分十分重要，但它们更像汽车发动机，而不是政治。如果数学家想出了另一种办法来计算变化，这不会带来多大的问题。甚至还有使用积分和微分的其他方法，但最终用什么方法并不重要。反正它们总会得出同样的天气预报，建好同样的大楼，对选举结果做出同样的预测。重点在于，这种方法有用。至于它具体怎么运作，我们不需要想太多。 积分和微分的应用如此广泛，了解一点也没什么坏处。我们在很多地方都会遇到微积分，它在今天这个社会的发展中扮演着非常重要的角色。正如我在第五章中说过的，它和历史这门学科有些相似。知道你周围的世界从何而来，为什么事物会呈现出它们现在的样子，这很有用，因为这能给你提供一个更好的视角看待社会。积分和微分也一样。微积分是历史上最有影响力的思想成就之一。所以，哪怕微积分计算的具体细节在我们的日常生活中没有什么直接的重要性，了解一点微积分也很合理。 从另一个方面来说，统计学对我们的日常生活的确有重大影响。平均收入涨幅的计算方法可能极大地影响计算结果，进而影响我们心目中的社会图景。同样的事情也发生在民意调查、男女收入差距以及科研结果的计算中。统计学可以让海量数据变得更容易理解，从而极大地帮助我们，它还能让我们看到自己可能没注意到的联系。问题在于，统计学很容易被有意或无意地用来扭曲我们看到的世界。 使用哪种方法，民意调查如何进行，基于什么数据计算平均值，这都会影响我们对世界的看法，进而影响我们做出的决定。因此，要形成我们自己的意见，有能力用批判的眼光看待统计学很重要。要实现这个目标，数学知识至关重要。不是为了亲自计算，而是为了理解它有哪些地方可能出错。统计学在我们日常生活中的价值大得难以估量。 最后是图论。它也对我们的生活影响重大，因为谷歌和脸书这样的公司用图来决定我们可以看到的信息。正是这个原因，图论的侵略性比统计学强得多。如果谷歌改变了使用图的方式，这可能意味着你会看到完全不同的信息，你可能因此被误导，甚至完全搜不到任何信息。正如我在第七章提过的，谷歌和脸书会把用户装进特定的“泡泡”，确保人们主要接触的都是想法、偏好和自己相似的人。 图论揭示了我们如何通过谷歌这样的网站获取信息。至少同样重要的是，我们看到了自己反馈的信息会得到怎样的处理。谷歌、脸书和其他互联网公司能用他们搜集的所有这些个人数据来干什么？谁会查看这些信息？这个过程中有哪些部分是非人工、全自动的？这些都是大众十分关切的问题，如果你真想知道答案，就需要理解它们背后的数学。然后你才能讨论什么是可能的，什么是不可能的，人工智能到底如何运作，危险潜藏在什么地方。 谁有足够的业余时间来做这些？检查每天碰到的每一个数据，时刻关注人工智能所有最新进展，同时还要维持正常生活？谁也做不到，也不需要这样做。只要理解了最基础的东西，你就能走得很远。这足以让你批判地看待某项研究或者某次民意调查出人意表的结果，深入思考智能服务搜集数据的界限。因为，你只需掌握一点点数学知识，就能更好地理解他们会用这些数据干什么。 数学，当然包括其中比较难的部分，让我们能以更深刻的眼光看待周围的世界。你在日常生活中可能很难遇到任何实际的计算，但是，我也想对 15岁的自己这样说：“你所看到的周围的一切都是数学研究的对象。”形状奇怪的建筑、天气预报、民意调查等基于海量数据的预测，搜索引擎和人工智能——要是你能领会数学的核心理念，你对这些东西的理解都会变得更深入。尤其是现在，世界正在变得越来越复杂，我们需要一些能让它变得不那么令人眼花缭乱的东西。这正是数学的意义，而且数学完成这个任务的方式，往往没有我们以为的那么难以理解。 ★几乎所有人对数学的讨厌都不是因为数学本身，而是不明白为什么要学数学。天才数学家，为你补上中学数学开课前蕞重要的一堂数学启蒙课。 ★一部不做运算、只讲故事的简明数学史。摒弃一切公式与计算，用一个个历史段子让你知道数学从何而来、有什么用。 ★透视社会生活背后的数学逻辑。导航软件、刷短视频、天气预报，我们的日常都是数学算法在支撑。数学不仅是一门抽象的学科，而且还导演着这个形形色色的世界舞台。 ★没有对数学本质的理解，我们的认知会是不完整的。数学的终极之用是一种变复杂为简单的思维方式，可以培养我们的逻辑能力、解决问题的能力，以及提高分析和决策的能力。