大学数学实践教学研究/大学数学教学与改革丛书

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第一篇 数学实践的改革思考
　　数学应用于多个学科及专业，随着科学技术的进步，应用数学解决现实问题已成为非常普遍的现象。这种应用需要大学生具备运用数学知识解决实际问题的能力，需要大学不断进行数学实践改革。本篇就数学实践提出几点改革思考。
　　第一章 数学实验教学的理论与实践
　　2004年3月，国务院发布了《2003—2007年教育振兴行动计划》，提出要实施“高等学校教学质量和教学改革工程”，以提高高等教育人才培养质量为目的，进一步深化高等学校的培养模式、课程体系、教学内容和教学方法改革。作为为国家培养数以千万计的专门人才和一大批拔尖创新人才的高等教育，应将以不断提高教育教学水平，提高学生素质，培养学生的就业能力、创业能力和创新能力为目标，落实在具体的学科教学之中。开展数学实验教学改革就是为了进一步提高学生的素质，特别是提高学生的创新能力。
　　第一节 什么是数学实验教学
　　数学实验教学是指为获取某种数学理论、检验某个数学假设、解决某些数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思想指引下，在特定的环境下进行的探索、研究活动。
　　其实，过去数学教学中的测量、手工操作、模型制作、实物或教具演示等就是数学实验的形式，只不过为了帮助学生理解和掌握数学概念、定理，以演示实验、验证结论为主要目的，很少用来进行探究、发现、解决问题。而现代数学实验主要是以计算机数学软件为平台，结合数学模型，模拟实验环境进行数学教学。整个实验过程中强调学生的实践与活动，学生可以采用不同的实验程序，设计不同的实验步骤。现代数学实验更能充分发挥学生的主体作用，更有利于培养学生的创新精神和发现问题的能力，因而是一种新型的数学实验教学模式。本章重点介绍的就是利用计算机技术进行现代数学实验的教学模式。
　　第二节 如何开展数学实验教学
　　一、开展数学实验教学的原则
　　1. 坚持“以学生为主，教师引导”的原则
　　开展数学实验教学，其目的是培养学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力，以及应用计算机进行科学计算的能力，以适应新时期对高素质人才的需要。从工科数学的角度来看，学生创新精神和能力的培养主要是通过应用数学来实现。工科学生学习数学不是为了研究数学，而是为了研究数学的作用。
　　数学实验的教学模式与传统数学课程的教学模式有所不同。我们认为数学实验的教学模式应以学生独立操作为主，教师辅导为辅。发挥计算机协同支持、学生主动学习、教师指导监督等各方面的优势；充分利用学生交流、研讨、相互促进的“群体效应”来提升教学效果。在教学过程中，教师经常提出一些思考题目，甚至一些猜想，鼓励学生独立思考、勇于创新。学生可以自己选择实验题目，建立数学模型，在数学软件上编程、计算、分析等。学生也可以大胆地质疑某个数学结论或某个自然现象，通过自己或群体的讨论、分析，去论证结论的合理性。我们认为教学计划应具有反馈的调节机制，根据学生的及时反馈、中期反馈和长期反馈不断调整教学计划（包括相应的教学内容和材料），才能达到最佳的教学效果。教师的教学计划不能只是简单的直线实施，而应当是环状实施。这样才能反映数学实验教学以学生为中心的教学观念。
　　2. 注重学生的“发现和探索”的原则
　　在设计数学实验教学内容时，应该设计一些能够引起学生兴趣的内容，每个实验应围绕一个或几个问题展开，使用若干个方法去解决某个问题，比如运动追逐问题可以建立微分方程模型或应用计算机模拟的方法建模；方程求解有图形放大法、二分法、数值迭代法等。教学过程中采用提问的方式，促进学生勤思考，深入钻研，大胆实践。在数学实验教学中，希望学生能对某些自然现象、数学问题进行认真的观察和研究，探索某些值得思考的问题，甚至是某些疑惑，通过自己的分析思考最终得以解决，从而更加深入地理解和掌握数学的概念和方法。
　　二、数学实验教学的基本环节
　　数学实验教学的基本思路是：从问题情境（实际问题或数学问题）出发，学生在教师的指导下，设计研究步骤，应用计算机进行探索性实验，发现规律，提出猜想，进行证明或验证。根据这一思想，数学实验教学一般主要包括以下四个环节。
　　（1）创设情境。创设情境是数学实验教学的前提和条件，其目的是为学生创设思维场景，激发学生兴趣。数学实验教学中，创设合适的问题情境，应注意以下几个方面。①合理运用文字与动画组合。问题情境呈现清晰、准确是最基本的要求。②具有可操作性。便于学生观察、思考，从问题情境中发现规律，提出猜想，进行探索、研究。③有一定的探索性。问题的难度要适中，能产生悬念，有利于激发学生思考。④简明扼要。创设情境不宜过多，不要过于展开，用时也不要太长，以免冲淡主题，甚至画蛇添足。
　　（2）活动与实验。这是数学实验教学的主体部分和核心环节。教师可根据具体情况设定活动形式，最好是以2～4人为一组的小组形式进行，也可以是个人探索，或全班进行。这里教师的主导作用仍然是必要的，教师给学生提出实验要求，学生按照教师的要求，在计算机上完成相应的实验，搜集、整理研究问题的相关数据，进行分析、研究，对实验的结果做出清楚的描述。这一环节对创设情境和提出猜想两大环节起到承上启下的作用。学生通过“做数学”来学习数学，在教师的指导下，通过观察、实验去获得感性认识，有利于学生以一个研究者的姿态，在“实验空间”中观察现象、发现问题、解决问题，进而培养学生想象力、解决实际问题的能力及严谨的科学态度和数学情感。
　　（3）讨论与交流。这是开展数学实验教学必不可少的环节，也是培养合作精神、进行数学交流的重要环节。让学生积极主动地参与数学实验活动，对知识的掌握，思维能力的发展，学业成绩的提高，以及学习兴趣、态度、意志品质的提升都具有积极的意义。在学生积极参与小组或全班的数学交流和讨论的过程中，通过发言、提问和总结等多种机会培养学生数学思维的条理性，鼓励学生把自己的数学思维活动进行整理，明确表达出来。这是培养学生逻辑思维能力和语言表达能力的一个重要途径。
　　（4）提出猜想，验证结论。提出猜想是科学发现的一个重要步骤，目前开展研究性学习，培养学生的创新意识，开发学生的创新潜能，需要猜想，但数学不能仅靠猜想，教师有必要引导学生证明猜想或举反例否定猜想，让学生明白，数学中只有经过理论而得出的结论才是可信的。
　　三、数学实验教学的内容与方法
　　目前各高校开展的数学实验教学主要内容分为三部分。
　　一是基础实验。以Mathematica、MATLAB等软件为依托，学习微积分、线性代数等内容。
　　二是专题实验。以高等数学为中心向边缘学科发散，学习微分方程、数值方法、数理统计、图论与组合、运筹与优化、分形、混沌等。
　　三是综合实验。以社会实践为背景，设计综合实际问题，使学生体验物理问题—数学模型—解决问题—论文报告的全过程。
　　数学实验教学一般采用模块实验法与案例实验法相结合的方法进行教学。例如，在基础实验中设计的几何图形模块实验，涵盖了数学专业领域的常见图形，使学生纵向了解各种图形的几何意义；在专题实验中设计的数值计算方法模块，可以囊括高等数学范围内所遇到的数学问题的数值解方法及其误差分析，并结合具体案例加以应用，使学生掌握各种问题的数值解法，并灵活运用该方法来解决问题；在综合实验中，其内容涉及数学领域中的计算数学、应用数学、数学前沿领域问题及与社会生活密切相关的实验问题，使学生在浓厚的兴趣支配下自己动手实验，最终使实际问题得以圆满解决。
　　四、开展数学实验教学的条件与工具
　　首先，先进的教学网络与高配置的计算机系统是数学实验课程开设必不可少的硬件工具，同时需有配套的软件给予支持，如数学专业软件MATLAB、Mathematica、Maple、SAS、LINDO、LINGO及多媒体技术处理系统等。
　　其次，需要有高水平的任教教师。教师在授课前要寻找具有纵向关系的问题模块及经典的数学问题，随后设计具有启发性的实验内容，形成相对独立的单元以供学生实验；授课时教师要对经典问题及数学思想进行介绍，激发学生的学习兴趣；在学生实验过程中，要引导学生查找相关资料，组织小组讨论，协助学生编制相应程序；在实验完成后要对学生的科研论文或实验报告给予精辟的讲解，对学生所做实验给予一个正确的评价。
　　数学实验本身的实践性决定了它与实际问题的紧密联系，一些应用数学的经典案例也多来源于社会生活之中，因此还需要安排学生少量的外出考察活动，使他们了解问题的背景、事实依据、预期结果等，最终得出切合实际的实验结果。
　　第三节 开展数学实验教学取得的主要成效和存在的主要问题
　　一、主要成效
　　通过开展数学实验教学，可以取得以下几个方面的成效。
　　（1）提高学生的学习兴趣。数学实验教学从问题出发，不追求内容的系统性和完整性，而讲究处理问题的过程并总结规律，学生会随着数学实验教学进入数学的美妙世界，感到新奇与兴奋，会投入最大的精力参加数学知识的学习。在基础实验中感叹数学的奇妙，在专题实验中加深对数学的深刻理解，在综合实验中增加一份社会责任，以及对自身能力平添一份信心。
　　（2）挖掘学生的学习动力。数学实验教学是解决问题的学习方法，激发学生的求知欲望。学生不仅会重拾以前学过的知识，而且会学习其他学科的专业知识，然后去做实验，从而促进数学与其他专业课程之间的交叉互融，开阔眼界，达到爱学习、主动学习的目的。
　　（3）培养学生的科研意识与创造能力。学生在数学实验课程中的学习由过去的被动接受转为主动参与，由以前做书本中的习题转为做自己设计的问题，有利于学生发挥学习的积极性及锻炼学生独立思考问题和解决问题的能力，使学生在创新意识的培养过程中提高数学的创造能力。此外，数学实验的结果以科研报告的形式得出，使学生接触“科研”的概念，对学生科研意识的培养起到启迪作用。
　　二、存在的主要问题
　　从目前看，广泛开展数学实验教学还存在以下几个亟待解决的问题。
　　（1）处理好学习内容多而学时少的矛盾。相对于传统数学教学，数学实验教学用时较多，事实上，开展数学实验，不仅在于数学知识本身的探求，还在于数学知识的应用。数学实验是数学体系、内容和方法改革的一项尝试，有利于培养学生的主动性、创造性和协作精神，有利于提高学生的整体素质。在大学开展数学实验教学符合素质教育的要求，具有长效性。因而，应进一步减少传统数学课程的学时，增加数学实验课程的学时。
　　（2）处理好数学实验教学要求较高与教师不能很好适应教学要求的矛盾。在大学常规的教学中，开展数学实验的教师面临来自专业素质方面的挑战：一方面，开展数学实验教学要利用较多计算机知识，有时甚至要用到简单的程序设计知识；另一方面，开展数学实验，需要教师具有更强的数学知识和科研能力，这就对教师的专业素质提出了更高的要求。因而，培训数学实验课程的教师，是推广数学实验教学的关键。