材料宏细观非弹性本构关系

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第一章 绪论
　　1.1 连续介质力学基础
　　1.1.1 运动学基础
　　1. 物体的运动和变形
　　物体在欧几里得空间内将占据区域B，而在运动和变形中的不同时刻物体在空间中占据的区域是不同的(即具有不同的构形)。但是，为了更好地描述物体在外载荷作用下产生的相对运动和变形，可以选择一些固定的构形来确定物体在空间中所占的区域，这样的构形就称为参考构形。物体在参考构形中对应的点称为材料点，如图1.1(a)所示。相对于参考构形，物体在t时刻通过运动和变形变成了当前构形Bt，如图1.1(b)所示。在物体的运动和变形过程中，参考构形中的材料点运动到了如图1.1(b)所示的点，该点则称为空间点。
　　图1.1 不同的构形
　　如图1.1所示的物体B的运动可以表示为函数，即
　　(1.1.1)
　　其中，是材料点在t时刻占据的空间位置。此时，可认为运动就是物体在t时刻的变形，即
　　(1.1.2)
　　在连续介质力学中，假设和是一一对应的。因此，如果令表示相对于材料点的梯度，则上述假设要求：
　　(1.1.3)
　　其中，是变形在材料点处的体积雅可比行列式。
　　由于物体在t时刻占据的空间区域可看成是t时刻的变形体，也就是满足运动关系的空间点集合。进而，可以定义空间矢量：
　　(1.1.4a)
　　(1.1.4b)
　　分别表示材料点在t时刻的速度和加速度。注意，在物体的变形对时间求偏导数的过程中材料点是保持不变的。
　　由于在固定时间t下，和是一一对应的，则有。同时，为了用分量形式表示空间中的矢量和张量，可引入正交基矢量，并假设其为正取向的，即有。
　　2. 变形的度量
　　1) 变形梯度张量
　　根据式(1.1.1)定义的物体变形(略去时间变元t)，可定义二阶张量：
　　(1.1.5)
　　为变形梯度张量及其分量形式表达式。由此可见，变形梯度张量是定义在参考构形和当前构形之间，并且与材料点和空间点相对应的二阶张量，因此，可以称其为两点张量。可以证明，对上述定义的变形梯度张量，有
　　(1.1.6)
　　其中，det表示张量的行列式值。这表明变形梯度张量是一个正定的二阶张量。
　　2) 伸长、旋转和变形张量
　　根据张量极分解定理，可以将变形梯度逐点分解为一个旋转张量和正定对称张量与的乘积，即
　　(1.1.7)
　　其中，即为右伸长张量，为左伸长张量。对旋转张量，其满足正交性条件，有
　　(1.1.8)
　　而对正定对称的伸长张量和，有
　　(1.1.9)
　　(1.1.10)
　　尽管右和左的伸长张量和具有明确的物理意义，但是在实际应用过程中由于方根的运算而存在许多问题。因此，为了避免这类问题的出现，可以进一步定义右和左的Cauchy-Green变形张量和分别为
　　(1.1.11)
　　(1.1.12)
　　同时，利用旋转张量的特性，还可推出左、右伸长张量和Cauchy-Green变形张量之间的关系，即
　　(1.1.13)
　　(1.1.14)
　　另外，可以证明张量、、和都是对称正定张量。
　　利用上面定义的伸长和变形张量，可以定义Green-St.Venant应变张量为
　　(1.1.15)
　　在实际的应用过程中，针对应变的度量可以有两类描述方式，即应变的Lagrange描述和Euler描述：
　　A. Lagrange描述
　　应变的Lagrange描述是基于参考构形来描述材料点邻域内的变形情况，与之对应的应变张量称为Lagrange应变张量，即
　　(1.1.16)
　　由此可知，Green-St.Venant应变张量实际上就是时的Lagrange应变张量。另外，如果令，则有，这就是常用的对数应变张量，详见(黄筑平，2003)。
　　B. Euler描述
　　应变的Euler描述是基于变形后的当前构形来描述空间点邻域内的变形情况，与之对应的应变张量称为Euler应变张量，即
　　(1.1.17)
　　比较式(1.1.16)和式(1.1.17)可知，Lagrange和Euler应变张量之间相差一个刚体转动，即
　　(1.1.18)
　　与Lagrange应变张量类似，可以分别讨论取不同值时对应的Euler应变张量。例如，如果分别令和，则由式(1.1.18)可知
　　(1.1.19)
　　(1.1.20)
　　其中，由式(1.1.20)定义的应变张量称为Almansi应变张量。由此可见，Green-St.Venant应变张量和Almansi应变张量之间存在的关系式为
　　(1.1.21)
　　关于其他Lagrange和Euler应变张量的讨论可参见(黄筑平，2003)。
　　3. 小变形假设
　　根据式(1.1.1)表示的物体的运动，可令表示材料点在t时刻的位移，进而可得位移梯度张量。利用位移梯度张量，可以将变形梯度和Green-St.Venant应变张量表示为
　　(1.1.22)
　　(1.1.23)
　　在材料的本构关系构建过程中经常会用到小变形假设。从连续介质力学角度来说，将满足参考构形是自然的和变形梯度张量与单位张量之差(即)足够小这两个条件的变形称为小变形。由此可知，小变形假设实际上就是在位移梯度时对所讨论的相关物理量进行合理的近似。
　　当时，
　　(1.1.24)
　　(1.1.25)
　　可见，在的误差范围内，应变张量可由来近似，这就是通常用到的无限小应变张量。由于变形梯度张量在小变形假设下近似等于单位张量，因此变形体和未变形体可以近似看成是一致的或最多相差一个常值位移。
　　4. 速度梯度、伸长率和自旋率张量
　　1) 速度梯度张量
　　定义为速度梯度张量，则由变形梯度张量的材料时间导数有
　　(1.1.26)
　　进而有
　　(1.1.27)
　　利用速度梯度张量的定义可得
　　(1.1.28)
　　(1.1.29)
　　2) 伸长率和自旋率张量
　　令和分别表示速度梯度张量的对称和反对称部分，则
　　(1.1.30)
　　(1.1.31)
　　即
　　(1.1.32)
　　可以证明，速度梯度张量的反对称部分是一个与刚体旋转运动相关的张量，称为自旋率张量。因此，速度梯度张量的对称部分则与物体的伸长有关，可称为伸长率张量。
　　另外，根据Green-St.Venant应变张量的定义以及速度梯度张量和变形梯度张量的材料导数之间的关系式，可以证明
　　(1.1.33)
　　1.1.2 基本的力学原理
　　1. 基本守恒定律和平衡方程
　　1) 质量守恒定律
　　令为参考构形中某一个材料点处的质量密度，则变形前物体的质量为
　　(1.1.34)
　　其中，为参考密度。同样，可令为变形体中空间点处的密度，则t时刻变形体的质量可写为
　　(1.1.35)
　　根据物体变形前后质量相等的要求，则有
　　(1.1.36)
　　其中，M为固定的物体质量。这就是质量守恒定律的整体积分形式。
　　因为式(1.1.36)的左边项是与时间无关的，则对其等式两边同时求材料时间导数，有
　　(1.1.37)
　　这是质量守恒定律的另一种表述形式。
　　根据Reynold输运定律，还可以推得质量守恒定律的局部微分形式，即
　　(1.1.38)
　　其中，v为速度矢量。
　　2) 动量和动量矩守恒定律
　　给定任意一个空间点，则可得位置矢量为(为坐标系原点)；对变形体，则积分和分别表示其线动量和角动量(即动量矩)。进而可得它们各自的材料时间导数：
　　(1.1.39)
　　(1.1.40)
　　考虑作用在物体边界面上的表面张力t和物体内的体力，则由表面张力和体力在物体内产生的总的力和力矩分别为
　　力： (1.1.41)