河湖水环境数学模型与应用

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第1章 绪论
　　在河流、湖泊水环境保护和管理工作中，往往需要预测区域水环境的变化过程及其发展趋势。例如，水环境规划、水环境整治方案、环境影响评价、排污口设置许可论证等工作，都要求对相关规划或工程方案实施后未来的水质改善情况进行科学预测与评估，以此来作为判定这些项目的环境可行性的关键依据。这就需要采用模型模拟的手段，研究河流、湖泊的水质变化规律，探明这些工作对区间或区域水环境的响应过程与作用贡献。
　　河湖水环境模拟主要包括物理模拟和数值模拟。物理模拟是在相似理论的基础上，构建物理模型，再现原型中发生的污染物物理过程的一种模拟方法，具有直观性和物理概念明确的优点，但也存在着污染物生化过程相似问题、时间比尺变态问题等难点。数值模拟是以描述污染物迁移输运的数学方程为基础，以数值方法和计算机技术为手段，通过输入数字化的水域地形条件和边界条件，求解反映水动力和水环境演变过程的基本控制方程组，得到水环境要素的时空分布规律，实现对水环境系统各要素的动态变化过程及其相互作用关系的定量描述。相对于物理模拟，数值模拟具有灵活、省时、高效、无比尺效应影响、可重复性强等优点，在科学研究和工程实践中得到了广泛的应用。随着我国水环境管理水平的不断提高，从流域视角开展水环境的精细化管理已成为新的趋势，这进一步增强了对数值模拟技术的依赖。通过构建高精度的水环境数学模型，可以使决策者能够在水环境管理的诸多方案中选择更好、更为科学合理的技术方案，以模型技术助力新时代新要求下水环境精细化管理必将大有可为。
　　1.1 水环境数学模型的概念
　　水环境数学模型是根据物质守恒原理，用数学语言和方法描述污染物质在水体中发生的物理、化学、生物变化过程，建立水环境系统数学方程，以数值方法和计算机技术为手段，通过方程求解来模拟污染物在水体中的混合和输运、在时间和空间上的迁移转化规律。实际上水环境数学模型就是对水体污染物质因水动力和生物化学作用而发生物理的、化学的和生物的各种反应，形成错综复杂的迁移转化过程所做的数学描述与模拟。
　　今天，以改善水环境质量为核心，提出了更严格的水环境预测计算要求。水环境数学模型已成为环境科学研究、工程应用和水环境管理(如环境保护规划、环境影响评价、突发污染事件风险评估和预警预报、容量总量控制、海绵城市建设、黑臭水体治理等)必不可少的手段之一。例如，在环境影响评价工作中，需要利用水环境数学模型预测拟建项目排放污染物对水环境的影响范围及可能造成的水环境质量变化，从而根据拟建项目对环境影响的程度与质量变化的大小，可以判断拟建项目是否可行，或提出排放控制限值。同时，在河湖生态基流的确定、排污口设置论证，以及流域层面的环境规划和管理方面，水环境数学模型也得到了广泛应用。例如，计算河流生态流量与生态水位，优化确定污染物排放的设置，制定区域限制排放标准，评估区域的纳污能力，制定区域的环境容量或允许排放量，对评估污染物排放消减后水体水质改善效果、不同流域治理方案进行有效性和经济性对比等，均需要用到水环境数学模型。
　　1.2 水环境数学模型的建模基本步骤
　　建立某个实际水环境问题的数学模型通常可以分为以下6个步骤。
　　1.模型概化
　　模型概化是指通过选择适当的模型状态变量和参数，确定状态变量之间及与参数间的相互影响和变化规律，从而构建描述变量间函数关系的数学方程。应当指出，模型反映的是所描述现象的主要特征，是对真实世界的一种近似。因此，在满足问题需求的前提下，应该使用尽可能简单的模型。
　　水环境模型概化就是要根据研究区域水污染现象，应用水环境科学的原理和实验研究结果，挑选适合的数学工具将水环境管理和保护的问题转变为数学问题。该步骤的关键是总结分析水环境问题特征和变量，抓住问题的主要矛盾，忽略次要因素；根据已有的资料条件选用数学工具，将水环境问题转变为数学问题。这一步骤是决定水环境模型能否成功的基石。资料的时空精度与数学工具要求不匹配，数学问题的提法不恰当等都极可能导致后续模型求解的失败。
　　2.模型构建
　　模型构建包括数学模型选择、模拟区域确定、网格布置、方程数值求解等环节，这一步骤更多是考验建模者对现代数学工具和计算机技术的掌握。在数学工具上，主要是将选定模型的微分控制方程，针对计算区域网格进行离散，建立封闭的离散方程组来求得其数值解。
　　模型构建还要考察所构建模型的灵敏性和稳定性等特征。模型灵敏性反映模型输出结果在模型参数变化时的一种响应特性。通过灵敏性分析，可以从众多影响因素中找出对结果有重要影响的敏感性因素，并分析、测算其对输出的影响程度和敏感性程度，进而可以判断模型的不确定性。稳定性又称鲁棒性或健壮性，用以表征模型系统在受到扰动或不确定的情况下仍能保持其特征行为的能力。在实际问题中，诸如测量误差、记录误差、插值误差等输入扰动往往难以避免，因此，模型稳定性也是考察模型特征的重要方面。
　　3.模型参数率定
　　数学模型的方程中通常含有大量计算参数。这些参数的取值需要采用某种方式加以确定，通常包括理论公式法、经验公式法和模型试验法等。但是无论使用何种方法，参数率定的目的是使参数值代入模型进行运算后，模型输出结果能较好地重现实测数据，如果拟合效果不好，则需要在合理的取值范围内重新调整模型参数，提高模型预测精度。当两个模型重现数据的能力相同时，通常选用含有参数较少的模型。
　　4.模型验证
　　经过上述建模步骤之后，得到了一个能较好地重现实测数据的数学模型。但是，这个模型重现其他实测教据的能力还不得而知，因此还必须进一步检验模型是否具有较强的预测能力。所谓模型验证就是在不改变模型参数取值的条件下，用独立于模型率定时所用数据的全新观测数据与模型计算结果进行比较。如果能够达到预期精度，则说明所建立的模型是成功的。
　　5.模型应用
　　模型应用指的是采用经过率定和验证的模型去预测某种实际问题的结果。如果模型达不到解决问题的要求，那么需要重复上述各步骤，调整模型结构或算法，直到所建立的模型能够满意地解决实际问题为止。此外，在使用模型时要时刻注意推导模型基本方程时的前提假设条件，不能在模型应用时超出其适用范围。
　　6.模拟结果解读
　　水环境模型结果的解读即将模型的数学解解译为水环境科学语境中的解答，这一步骤决定了是否能够昀终获得有意义的水环境问题的答案。此时，建模者需要关注模型的结果是否符合水环境科学基本原理，是否与建模者的日常观察和工程经验矛盾等。需要切记的是，任何数学模型只能给出方程的解，但无法保证其结果的正确性，应小心对待，反复论证其合理性。若水环境模型的模拟结果在定量，甚至定性上都无法让人满意，那么建模者需要考虑模型是否忽略了重要变量、重要污染物或者重要的环境过程，模型在时间和空间上的精度是否足够，模型的计算格式选择是否正确等，来修正和改进模型，直到它给出符合要求的结果。
　　水环境模型经过近一百年的发展，已经不需要使用者对建模从“零”开始，但是对模型使用条件的选择、模型的率定与验证、模型结果的判断与解读，已经成为衡量水环境模型使用者水平的重要标志。
　　1.3 模型分类
　　水环境数学模型分类方法很多，通常可以按模型空间维数、时间相关性、确定性特征、水域类型、基本方程状态等进行分类。具体包括以下几种分类方法。
　　1.空间维数
　　从水环境数学模型所对应的空间维数角度，可分为零维、一维、二维和三维模型。污染物在水体中的迁移和扩散过程自然是发生在三维物理空间的，但是在处理某些具体问题时，为了减少数学问题的复杂性，降低方程的求解难度，在与实际求解的问题基本符合的情况下，可将三维问题简化为二维问题、一维问题，甚至是零维问题，从而建立不同空间维数的模型。其中，零维模型主要适用于污染物在较短时间内能够均匀混合的小型湖泊、水库或河段；一维模型主要适用于河道宽度和深度较小，污染物在较短时间内能在横断面上均匀混合的中小型河流及河网地区；平面二维模型主要适用于宽深比较大(通常在10以上)，垂向变化较小，污染物主要表现在横断面上分布不均匀的河流。
　　2.时间属性
　　从水环境模型是否含有时间变量，可分为稳态模型和非稳态模型。含有时间变量的数学模型能够描述污染物随时间的变化规律，因此这类模型被称为非稳态模型。而那些不含时间变量的模型只能描述平衡状态下的水质状况，因此称为稳态模型。实际应用时，可根据拟解决问题的时间性质，分别采用具有不同时间属性的模型。
　　3.模型变量
　　按模型变量是否为随机变量，可以把数学模型分为非确定性模型和确定性模型两类。当变量含有随机特性(即非确定性)时，称为非确定性模型；当变量不含有随机特性时，称为确定性模型。
　　按照模型变量的多少，还可分为单变量水质模型、多变量水质模型和水生生态模型。简单的水质模拟一般采用单一变量或是少数变量，随着变量的增加，模拟难度也会相应增加。模型变量及其数目的选择，主要取决于模型应用的目的以及对于实际资料和实测数据的拥有程度等。
　　本书只对确定性模型进行介绍。确定性模型的形式是一个或一组微分方程，按微分方程中变量阶次还可细分为线性和非线性模型。其中，微分方程中的未知函数及其各阶导数的幂次不全是一次的叫作非线性模型，否则叫作线性模型。非线性模型的求解相对复杂。
　　4.反应动力学
　　按模型所反映反应动力学的性质，分为纯输移模型、纯反应模型、输移和反应模型、生态模型。纯输移模型只考虑污染物在水体中发生的输移扩散过程，而不考虑其随时间的衰减过程；纯反应模型只考虑污染物发生的化学、生物化学等反应，而不考虑污染物的输移扩散过程；输移和反应模型则是将纯输移模型和纯反应模型结合起来，既考虑污染物随水流的输移扩散，又考虑污染物所发生的衰减反应；生态模型综合描述污染物在水体中发生的生物过程、输移过程和水质要素变化过程。
　　5.建模原理
　　按照建模原理和方式的不同，水环境数学模型可以分为数据驱动模型及过程驱动模型两大类。
　　数据驱动的水环境数学模型是从实际监测得到的水环境数据出发，利用统计学、机器学习等方法建立环境变量间的定量关系，从而达到揭示水污染现象中环境因素变化规律的目的。这一类模型的特点是强烈依赖于监测数据，对水环境过程的先验信息要求比较少；侧重于描述现象，而较少涉及污染物迁移转化的机制，这是数据驱动模型的优点，但也导致该类模型的解释和预测能力较差。由于数据驱动模型主要从现象出发，因此也被称为“唯象学模型”。
　　不同于数据驱动水环境数学模型从“顶”到“底”的建模方法，过程驱动模型是一种从“底”到“顶”的模型。过程驱动水环境数学模型是基于野外和实验室中对污染物迁移转化过程的研究成果，将水污染现象和过程中各变量的相互转化关系概化、数学化并建立相应的模型。过程驱动模型通常使用微分方程来描述水环境状态的变化过程；对于空间异质性较强水体，过程驱动模型往往需要用到偏微分方程这一工具；这也导致该类模型编程较为复杂，计算量也较大。
　　值得注意的是，有部分过程驱动模型，比如以SWAT(soil and water assessment tool)为代表的一大类水文模型主要运用基于机理的统计学等工具而不使用微分方程。因此，过程驱动模型和数据驱动模型主要的区别在于是否充分利用了污染物迁移转化机制的信息，而不是所使用的数学工具的不同。表1-1总结归纳了数据驱动和过程驱动模型不同的特点。
　　表1-1 数据驱动和过程驱动模型特点比较
　　数据驱动和过程驱动模型并不是截然分开的，在过程驱动模型中经常会应用线性回归等统计学方法构建污染物的转化过程。本书主要讲述过程驱动的水环境数学模型，因此不经特殊说明，下文所指水环境数学模型都是过程驱动模型。
　　6.模拟对象
　　根据模拟对象是固定的流场还是流场中连续运动的质点，可以分为欧拉模型和拉格朗日模型。