右端不连续微分方程模型及其动力学分析

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第1章 绪论
　　1.1 右端不连续微分方程发展概述
　　微分方程是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程.传统意义下的微分方程在欧氏空间建立，未知函数是一元函数时称为常微分方程(Ordinary Differential Equation， ODE)，未知函数是多元函数时称为偏微分方程(Partial Differential Equation， PDE).
　　微分方程这个概念最早由Leibniz在1676年致Newton的信中提出，利用微分方程建立数学模型来研究实际问题也已有悠久的历史.事实上，微分方程本身就是由于生产和科学实践的需要，于17世纪中后期，伴随着科学史上划时代的发现——微积分，几乎同时诞生的.
　　世界上的万事万物都是变化的，人们对众多实际事物的变化规律进行理论性定量研究经常采用的一种重要方法是动力系统方法，即根据事物发展的规律以及与之有关的一些其他因素，建立能反映事物发展变化动力学特性的数学模型(动力学模型)，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示事物的发展过程，揭示其发展规律，预测其变化发展趋势，分析影响其发展的原因和关键因素，寻求对其调控的最优策略，为人们进行有关决策提供理论基础和数量依据.在对实际事物进行研究的动力学建模中，微分方程是被最广泛应用的，也是所获成果最为丰富的.
　　在用微分方程描述的数学模型中，自变量的实际意义根据所研究的问题对象来确定.所有用来描述事物的状态随时间变化而变化的规律的微分方程模型当然都是时间的函数及其导数之间的关系式，其自变量均为时间变量，只是随着所研究对象的不同所对应的关系式各自不同罢了.例如，我们众所周知的牛顿力学，其基本任务是研究物体的运动轨迹，也就是研究其位移随时间变化的规律，它的众多经典的定律公式都是用微分方程描述的.在生物数学领域，微分方程也被广泛用于数学建模.初看起来，生物数目的变化似乎是不可能用微分方程来描述的，因为任何生物的数目都是用整数来计算的，其变化也应该是按整数变化的.因此，任何生物的数目都绝不会是时间的可微函数.然而，如果给定的生物总数非常大，并且它突然增加一个，这时发生的变化同给定的总数相比是很小的.因此，我们近似地认为，当总数很大时，它是随时间连续地，甚至可微地变化的.公共卫生医生Ross早在1911年对疟疾在蚊虫与人群之间传播的动态行为进行的研究中，所建立的数学模型就是用微分方程描述的[590]，其研究结果显示:如果将蚊虫的数量减少到一个临界值以下，疟疾的流行将会得到控制.Ross的这项研究使他第二次获得了Nobel生理学或医学奖.1927年，Kermack和McKendrick为了研究1665—1666年黑死病在伦敦的流行规律及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构造了用常微分方程描述的著名的SIR仓室模型[374]，继后，又在1932年提出了用常微分方程描述的SIS仓室模型，并在分析所建立模型的基础上，提出了区分疾病流行与否的“阈值理论”，为传染病动力学的研究奠定了基础.至今为止，微分方程模型在诸如物理学、力学、数学、工程学、材料学、生态学、流行病学、自动控制、神经网络、经济金融等研究中大量出现，读者可参见文献[57，58，259，363，428，429，494–496，509，681，684，685，805，834].
　　由于对用高阶常微分方程描述的数学模型我们可以借助变量代换将其转化为一阶常微分方程组的形式，因此，在不考虑模型的实际背景的情况下，众多的常微分方程模型均可写成如下一阶常微分方程的形式:
　　(1.1.1)
　　这里，是给定的函数，和G分别是R和Rn中的非空集，R表示全体实数集或一维欧氏空间，Rn表示n维实向量空间或n维欧氏空间;dxdt表示x关于t的导数，为了表达的方便，在本书中我们有时也用记号x˙或x′表示函数x关于其自变量的导数.当n.2时，方程(1.1.1)可以看作是向量形式的微分方程，其实是一个微分方程组，我们也称它是一个微分系统.
　　在本书中，为了遵循表示的习惯和尊重所引参考文献中的原用记号，有时也为表达的方便，在不易引起混淆的情况下，对n维向量空间中的向量，我们将灵活采用行和列的形式表示，即将视情况采用记号:或，其中右上标T表示转置.
　　当我们要重点强调方程中的某个或某些参数(或参变量)u时，可以将方程(1.1.1)写成如下形式:
　　(1.1.2)
　　这里，例如，形式为(1.1.2)的微分方程在控制系统建模中被大量运用，作为描述控制系统变量(物理量)之间动态关系的数学表示，为系统的控制输入项.
　　当(1.1.1)和(1.1.2)中右端函数不显含t时，方程可分别写成
　　(1.1.3)
　　和
　　(1.1.4)
　　我们称方程(1.1.3)和(1.1.4)为自治方程或自治系统，它们可分别看作是(1.1.1)和(1.1.2)的特殊形式.
　　当我们要研究一个微分方程时，首先需要明确在什么“范围”(区域)内来研究，对于微分方程模型来说，这个范围(区域)一般是由研究者根据研究内容并结合问题的实际意义来确定的.对于形如(1.1.1)—(1.1.4)的微分方程，若我们确定在某区域.上来进行研究，.为具有连通性的区域，如果其右端函数f在.上关于其所有变量均是连续的，则称其在区域.上是右端连续微分方程(简称微分方程)，否则称其在区域.上是右端不连续微分方程(简称不连续微分方程)，在不容易引起误会的情况下，通常省略指明区域 对于形如(1.1.1)的右端连续微分方程，特别是对于形如(1.1.3)的自治情形，其定性研究的理论和方法已十分丰富，参见文献[284，569，811].相对于右端连续的情形，对于形如(1.1.1)—(1.1.4)的右端不连续微分方程，无论是在其现有理论体系的完备程度上还是在其研究方法上，就都相差甚远了.
　　在现有关于右端不连续微分方程的定性研究文献中，主要考虑的方程类型是(1.1.3)，区域是，其中，G表示G的闭包，是Rn中的开集，l.2，右端函数f关于x在各子区域Gi上连续(不同子区域不含公共内点，即当时，但在相邻子区域Gi和的公共边界.上不连续(甚至无定义)，而且这方面的工作又主要集中在l=2的情形.我们一般根据方程中未知函数的维数是一维、二维还是二维以上分别称这种情形所对应的方程为右端分段、分片和分区连续微分方程，统一简称为分片连续微分方程，也可称为切换系统(Switching System)，定义在各分片内部的右端连续系统称为子方程或子系统，.Gij称为切换流形(二维情形称为切换线，三维情形称为切换面).分片连续微分方程属于不连续微分方程的子类型，也可看作是混杂系统(HybridSystem)[246]的一个子类.
　　对于右端不连续微分方程，由于不连续因素的存在，其研究呈现出许多新的特点，如由向量场的不连续性所造成的强非线性和奇异性等[297，298]，致使右端不连续微分方程的许多动态特性已不能用传统的动力学方法来研究.事实上，由于方程右端的不连续性，我们在大学期间常微分方程课程中学习过的关于初值问题解的存在性、唯一性、解对初值的连续依赖性等基本定理的条件已不满足，从而原来关于右端连续微分方程的众多经典结果和研究方法此时已不再有效，由此可见，右端不连续微分方程与右端连续微分方程是有本质区别的.例如，若设
　　其中ai，bi和均为实常数，则(1.1.3)即为平面线性微分系统:
　　(1.1.5)
　　对于系统(1.1.5)，它在相平面R2上轨线的拓扑结构是简单的，不可能存在极限环.然而，若设
　　我们在整个平面R2上来考虑微分方程
　　(1.1.6)
　　显然(1.1.6)在R2上为右端不连续微分方程(通常就说(1.1.6)是右端不连续微分方程，而省略指明区域 R2).它是由定义在右半平面上的线性微分系统
　　(1.1.7)
　　和定义在左半平面上的线性微分系统
　　(1.1.8)
　　所构成的一个平面切换系统.系统(1.1.7)和(1.1.8)为切换系统(1.1.6)的子系统，坐标轴x1=0为切换线.R2上的切换系统(1.1.6)虽然由分别定义在两个半平面上的线性系统组成，但它可表现出十分丰富的非线性动力学特性.现有的研究表明，在Filippov解的意义下，只要对方程(1.1.6)右端系数适当取值，它可以不存在极限环、至少存在1个极限环、至少存在2个极限环、至少存在3个极限环、恰好存在1个极限环、恰好存在2个极限环.例如:文献[289]研究了一类形如(1.1.6)的分片线性微分方程，证明了对三种不同类型平衡点(也称奇点)的情形都可以扰动出2个极限环，并猜想这样的系统最多只有两个极限环.文献[321]利用数值例子证明了形如(1.1.6)的分片线性微分方程可以有3个极限环.文献[464]进一步确认了3个极限环的存在性，并在计算机辅助下给出了证明.文献[236]研究了两个子系统的平衡点均为焦点，但其平衡点的坐标位置均不在自己的定义半平面及其边界上(这样的平衡点我们将在第4章给出定义，称其为虚平衡点)的情形下，得到了存在2个极限环的结果.文献[322，323]研究了两个子系统都具有一个鞍点和两个子系统都具有一个结点的极限环问题，并得到了2个极限环的存在性结果.文献[237]在一个子系统的平衡点为焦点，且平衡点的坐标位置在自己的定义半平面内(这样的平衡点我们将在第4章给出定义，称其为实平衡点)的情形下，给出了至少存在3个极限环的理论证明.由于对(1.1.6)的每个子系统而言，其平衡点(在整个R2上来看)的类型有焦点(Focus)、结点(Node)、鞍点(Saddle)、中心(Center)四种类型，而每种类型根据其平衡点的坐标位置又有“实”与“虚”之分，因此，对于切换系统(1.1.6)来说，若按其两个子系统的平衡点类型来进行分类研究，其研究内容就非常丰富了，若再考虑到其切换线Σ={x|x∈R2，x1=0}上可能的平衡点，其类型就更加丰富了.最近，我们在文献[675–677]中分别考虑了(1.1.6)为鞍-结(意指两个子系统中其中一个的奇点为鞍点，另一个的奇点为结点，下同)、鞍-焦、焦-结或结-中心等类型情形时的极限环问题，利用方程系数的取值，给出了(1.1.6)不存在极限环、至少存在1个极限环、至少存在2个极限环、恰好存在1个极限环、恰好存在2个极限环的一些充分条件.这方面更多的工作可参见文献[25，38，53，67，105，219，406，462，465，466，475，524，604]，我们将在第4章中作更详细的介绍.
　　其中和ξ为正常数.综合文献[424，425，818]中的结果可知，对于这三种情况，方程(1.1.9)的动力学性质有根本的区别.从几何上来看，上述三种情况都是把区域分成三部分(其中切换线本身作为一个部分)，只是分法不同，情况(i)是用平行于x轴的射线来分，情况(ii)是用过坐标原点且斜率为ξ的射线y=ξx来分，情况(iii)是用折线来分，此折线的一部分平行于x轴，其余部分是斜率为ξ的射线，也就是说，这三种情况只是切换线不同罢了.进一步，从文献[424，425，818]还可知，对于上述三种情况，方程(1.1.9)在其切换线上的轨线流结构也有着本质的不同.在本书后面章节的一些内容将表明，对于很多实际问题的数学模型，这样的切换线(面)对应于人们为达到某种目的而采取的控制策略，本例的事实表明控制策略的设计是非常重要的.这也促使我们考虑这样一个非常有意义的问题:我们设计满足什么样条件的控制策略就能保证模型具有某个特定的动力学性质?例如，我们不妨设想，若我们能用微分方程来描述某海洋区域的洋流，现要在该海洋区域上修建桥梁，桥梁修建后其上下游的洋流肯定是会有区别的，那么，我们应对桥梁如何选址和设计其路径才能尽可能地减少洋流对它的冲击破坏呢?这里的桥梁可视其为方