金针绣鸳鸯--科学方法故事/科学的天街丛书

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凸多边形外角和是多少——“经验归纳”之后 初等几何学告诉我们，凸多边形的外角和是180°。那 么，数学家们是怎么得出这一结论的呢? 这“凸多边形”中的“多”字太“讨厌”了——“多 ”究竟是多少呢?这是个抽象的东西，它的外角和是多少， 很难一下子就想出来。 那我们就先来看一些简单、特殊的情况吧。 由于三角形[图1(a)]的内角和是180°，而三角形有3 个顶点，每个顶点处所形成的内角、外角之和是一个圆周 角——360°，所以外角和就是360°-180°=180°。我们 设法把边数多于3的凸多边形分割成若干个三角形来研究， 这就可以使问题得到简化。 先看凸4边形。在图l(b)中容易看出，在图里的凸4边 形可以分割为2个三角形，所以凸4边形的内角和是2×180 °，而外角和是4×180°-2×180°=2×180°。 再看凸5边形。用同样的方法，把图1(c)里的凸5边形 分割为3个三角形，所以凸5边形的内角之和是3×180°， 而外角和是5×180°-3×180°=2×180°。 类似，图1(d)里的凸6边形可以分割为4个三角形，所 以凸6边形的内角之和是4×180°，而外角和是6×180°-4 ×180°=2×180°。 …… 看到规律了吧！ 对凸4边形，斜体的4、2、2分别为边数、内角含180° 的个数、外角含180°的个数。 对凸5边形，斜体的5、3、2分别为边数、内角含180° 的个数、外角含180°的个数。 对凸6边形，斜体的6、4、2分别为边数、内角含180° 的个数、外角含180°的个数。 …… 哈，有规律啦！“内角和就是它的边数减去2那么多个 180°”“外角和都是360°”。用数学公式表示是：“内 角和=n×180°”“外角和=360°”。 当我们想解决一个一般性问题(例如“凸多边形的外角 和是多少”)的时候，可以先分析这个问题的几个简单、特 殊的情况(凸3、4、5、6边形)，从中归纳、发现一般问题 的规律(2个180°)，从而找到解决一般问题的途径，*后 得出一般结论(凸n边形的外角和：2×180°)。这种研究问 题的方法称为经验归纳方法。 归纳推理方法有**归纳推理方法、不**归纳推理 方法、条件归纳推理方法、数学归纳推理方法等多种，经 验归纳方法属于数学归纳推理方法中的一种，是一种不完 全归纳方法，因为它是从少数特例出发来猜想一般规律的 。 经验归纳方法的思路是，当我们遇到一个抽象(通常与 n有关)的一般问题时，设法把它具体化，也就是特殊化， 再通过几个特例来总结归纳出解题的一般规律。 经验归纳方法的意义，不仅在于对给定的一个现成问 题可能借助它来思考，从而发现解题规律，*重要的意义 在于，它能帮助人们在实践的基础上发现新的客观规律，