概率论与数理统计学习辅导（十二五普通高等教育本科国家级规划教材辅导用书）

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第1章 随机事件
　　1.1 内容提要
　　1.1.1 随机试验和随机事件
　　1）随机试验
　　若试验（观察或实验过程）满足：可以在相同条件下重复进行；结果有多种可能，所有可能的结果是己知的，但每次试验的结果事前不可预知：则称这样的试验为随机试验。记为E。
　　2）样本空间、样本点
　　试验所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为。样本空间的元素，即试验的各种可能的结果称为样本点。
　　3）随机事件、基本事件、必然事件与不可能事件
　　样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件：常用英文字母A，B，C， 表示；仅含一个样本点的随机事件称为基本事件：样本空间Ω包含了所有的样本点，且是Ω的子集，在每次试验中总是发生：称其为必然事件；空集不包含任何样本点：但它是样本空间的子集，且在每次试验中总不发生，称其为不可能事件。
　　1.1.2 事件的关系及运算
　　设Ω是试验E的样本空间，A，B，A1，A2， 都是事件，即Ω的子集。
　　1）事件的包含与相等
　　若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件B，或事件B包含事件A，记为。
　　若，且，则称事件A与事件B相等，记为A=B。
　　2）事件的并或和
　　对n（n≥2）个事件A1，A2， ，An，若事件B发生当且仅当A1，A2， ，An中至少有一个发生，则称B为A1，A2， ，An的并或和，记为，或，或。
　　事件并或和的定义容易推广到无穷多个事件的情形：对无穷多个事件A1，A2， ，若事件B发生当且仅当A1，A2， 中至少一个发生：则称B为A1，A2， 的并或和，记为。
　　3）事件的交或积
　　对n（n≥2）个事件A1，A2， ，An，若事件B发生当且仅当A1，A2， ，An同时发生，则称B为A1，A2， ，An的交或积，记为或。
　　对无穷多个事件A1，A2， ，若事件B发生当且仅当A1，A2， 同时发生，则称B为A1，A2， 的交或积，记为，或，或A1A2 。
　　特别地，若，则称A与B为互斥事件，简称A与B互斥。
　　4）事件的差
　　对三个事件A，B，C，若C发生当且仅当A发生而B不发生，则称C为A与B的差，记为A=B。
　　特别地，称Ω-A为A的对立事件或A的补事件，记为。
　　5）事件的运算律
　　交换律：
　　结合律：
　　分配律：
　　对偶律：
　　对于多个事件：上述运算规则也成立，例如：
　　另外，还应注意到A-B=AB，或等。
　　1.1.3 概率的定义与性质
　　1）定义
　　设E是随机试验，Ω为样本空间。对每个事件A，定义一个实数P（A）与之对应，若函数P（ ）满足条件：
　　（i）对于每个事件A，均有P（A）≥0。
　　（ii）P（Ω）=1。
　　（iii）若事件A1，A2， 两两互斥，即对于i，j=1，2， ，i≠j，均有则称P（A）为事件A的概率。
　　2）性质
　　（i）即不可能事件的概率为零，反之不成立，即。
　　（ii）若事件A1，A2， ，An两两互斥：则即互斥事件之和的概率等于它们各自的概率之和。
　　（iii）对任一事件A，均有P（A）=1-P（A）。
　　（iv）对两个事件A和B，若，则有
　　（v）对两个事件A和B，有
　　性质（v）可推广到多个事件的情形：对n（n≥3）个事件A1，A2， ，An，有
　　其中
　　1.1.4 古典概型
　　1）定义
　　如果试验E的结果只有有限种，且每种结果发生的可能性相同，则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称古典概型。
　　2）计算
　　若试验E的样本空间，事件，且，则
　　1.1.5 条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式
　　1）条件概率
　　设A和B是两个事件，且P（B）>0，称为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。
　　条件概率满足概率定义中的三条，即
　　（i）对每个事件A，均有P（A|B）≥0。
　　（ii）P（Ω|B）=1。
　　（iii）若A1，A2， 是两两互斥事件，有
　　2）乘法公式
　　乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P（A1A2 An-1）>0时，有
　　3）全概率公式
　　设Ω是样本空间，若事件组B1，B2， ，Bn两两互斥，且，则称B1，B2， ，Bn为Ω的一个划分。
　　设Ω是样本空间，A为事件，B1，B2， ，Bn为Ω的一个划分，且，称为全概率公式。
　　4）贝叶斯公式
　　设Ω是样本空间，A是一个事件，B1，B2， ，Bn是Ω的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）＞0，i=1，2， ，n，称为贝叶斯公式，
　　1.1.6 事件独立
　　1）定义
　　设A、B为两个事件，若P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B相互独立。
　　事件独立的概念可推广到多个事件的情形：设A1，A2， ，An为n个事件，n≥3。若对A1，A2， ，An中的任意k（k≥2）个事件，总有
　　则称n个事件A1，A2， ，An相互独立。
　　2）性质
　　（i）设A、B为两个事件，P（A）>0。若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。反之亦真。
　　（ii）若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立，
　　对多个相互独立事件有如下性质：
　　（iii）若事件A1，A2， ，An相互独立，则A1，A2， ，An中的任意k（k≥2）个事件也相互独立，其中。
　　（iv）事件A1，A2， ，An相互独立，则事件B1，B2， ，Bn也相互独立，其中Bi为Ai或Ai，i=1，2 ，n。
　　1.2 教学要求
　　（1）理解随机事件和样本空间的概念。
　　（2）熟练掌握事件之间的关系及运算。
　　（3）理解概率的定义，掌握概率的性质，会用概率性质及事件问的关系与运算进行概率的计算。
　　（4）理解古典概型的定义，掌握古典概型下事件概率的计算。
　　（5）理解条件概率的概念：掌握用乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算事件概率的方法。
　　（6）理解事件独立的概念，掌握用独立性进行事件概率计算的方法。
　　重点与难点
　　 重点：事件的关系及运算，概率的定义及性质，古典概型的概念及计算，条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式的概念及其应用。
　　 难点：古典概型下事件概率的计算，全概率公式与贝叶斯公式的应用。
　　1.3 典型例题分析
　　例1 填空题：
　　（1）*设两个相互独立事件A与B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等：则P（A）=______。
　　（2）*设三事件A，B，C相互独立，且，P（A）=P（B）=P（C）<1/2，，则P（A）=______。
　　（3）设A，B为随机事件，且P（A）=0.6，P（B-A）=0.2。当A与B相互独立时，P（B）=______；当A与B互斥时：P（B）=______。
　　（4）某球员进行投篮训练，设各次投篮是否进筐相互独立，且各次进篮筐概率相同。己知该运动员3次投篮时至少投中一次的概率为0.875，则其投篮命中概率为______，5次投篮至少投中2次的概率为______。
　　（5）设A，B为两事件，P（A）= 0.5，P（B）=0.6，P（B|A）=0.4，则P（AB）=______，P（AB）=______，P（A∪B）=______。
　　解 （1）据题设，有P（A B）=P（A）P（B）=1/9。再由P（AB）=P（BA），知P（A）P（B）=P（B）P（A），即。由此，得P（A）=P（B）。从而，P（A）=P（B）=1/3，P（A）=2/3。
　　（2）据题设，有
　　解方程，得P（A）=1/4或3/4。再由P（A）<1/2，知P（A）=1/4。
　　（3）据题设，当A与B相互独立时，有