工程流体力学

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第1章 流体物性及量纲
　　流体物性包括流体的可压缩性和热膨胀性、流体的黏性、液体的汽化特性及液体的表面张力特性等。流体介质的连续性，虽不属于流体的真实物性，但它是建立流体力学理论的一个假设的基本属性，可以将它们放在一起讨论。
　　流体物性中的物理量都有量纲。量纲和量纲分析将在流体力学的研究和学习中贯穿始终。本章提出量纲和无量纲问题，需要特别重视并多加练习。
　　1.1 流体的连续介质假设
　　连续介质假设是将流体认为由连续分布的流体质点（particles）或称流体微团（microsphere）、流体单元（elements）所组成，每个流体质点包含大量流体分子，这些流体质点无论它们在宏观上是静止的还是运动的，都可以不计其中流体分子的运动。然而，流体微团内包含的大量流体分子，不仅是流体连续性假设成立的基础，而且是许多现象的解释结果。
　　流体分液体和气体，有代表性的流体是水和空气。对水来说，每1mm3水中的水分子有3.3×1019个，每1μm3的水中仍有3.3×1010个水分子，它们的相互作用产生的水压力p、速度q、密度ρ和温度T，以统计平均值表示。如果将流体质点（微团）的大小想象为1μm3的体积，在其形心处（或任意点处）的基本物理量p、q、ρ和T定义为该流体质点（微团）的这些物理量的统计平均值。所有流体质点（微团）在其形心处（也可以取微团中其他有代表性的点）都相似地各自具有其基本物理量p、q、ρ和T。流体连续介质假设是假定所有这些相邻的流体质点（微团）之间离散的物理量不是孤立的，它们在空间坐标（如x、y、z）和时间t上是相互连续的。由于有了这个流体介质连续性假设，分析流体运动就可方便地使用连续函数的数学工具。
　　对于流体连续介质假设，在理论上是假定流体是由“无穷小”的流体元素（质点或微团）组成，其体积元素一方面应该足够小，使其中的物理量p、q、ρ和T的分布是均匀或连续的；另一方面其体积元素又应该足够大，使它能包含有大量流体分子，以符合连续介质假设的要求，如以上所取流体体积元素为1μm3是典型的个例。其实，这个体积元素通常已远小于实验测量一点位置的体积误差（测量一点位置可控制的体积误差一般是0.1～1mm3）。
　　空气在常态（如20℃和1个标准大气压）时，每1μm3体积内有3×107个空气分子，除非对纳米尺度内空气流动，或在高空上层稀薄气体层内流动，流体连续介质假设将不成立，则需要用统计力学方法研究气体动力学问题，这种情况已不属本书讨论范围。
　　根据流体连续介质假设，通常流体力学中所有物理量都可用坐标点（x，y，z）和时间t的连续函数表示，如流体压力分布写为p(x，y，z，t)，速度分布写为q(x，y，z，t)，密度分布写为ρ(x，y，z，t)，温度分布写为T(x，y，z，t)等。流体压力p指单位面积上作用的流体法向力，即
　　或
　　式中：压力p是标量；F为面积A上的法向力，法向力F或dFn是矢量，指向作用面积的内法线方向，即　　
　　式中：n为面积元素dA的外法向单位矢量，其中负号表示压力总是沿内法线方向作用于面积元素上。
　　流体力学中物理量的基本量纲是质量M、长度L、时间T和温度量纲Θ，其他物理量的量纲都由基本量纲推导出来，所以压力p的量纲为
　　（1.1.1）
　　式中：[p]为p的量纲，它的单位为N/m2，即牛顿每平方米，或称为帕斯卡（Pascal），一般简写为Pa（帕）。
　　1N/m2=1kg/(m s2)=1Pa（1.1.2）
　　在国际单位（SI）中，质量单位为千克（kg），长度单位为米（m），时间单位为秒（s）。
　　通常，记1个标准大气压力为1atm。
　　1atm=101325N/m2=101325Pa≈101kPa（1.1.3）
　　流体速度q(x，y，z，t)是指流体在不同时间t通过直角坐标系上坐标点（x，y，z）处的速度q(u，v，w)，它是一个矢量，在坐标轴向速度分量分别为u、v和w，流体速度矢量可写为
　　（1.1.4）
　　式中：e1、e2和e3分别为坐标轴向单位矢量，式（1.1.4）对任何坐标系都成立。流体速度的量纲是LT-1，单位为m/s。
　　流体密度ρ指单位体积中流体的质量，即
　　或
　　式中：M（或dM）为体积V（或dV）中流体质量。流体密度ρ是标量，它的量纲为ML-3，单位为kg/m3。
　　根据流体连续介质假设，流体密度也是连续分布的，在直角坐标系中可写为ρ(x，y，z，t)。流体温度T的分布也一样，可写为T(x，y，z，t)。温度也是标量，量纲记为Θ，SI单位为开尔文（Kelvin），一般简写为K（开），与摄氏度（℃）换算关系为
　　K=摄氏温度+273.15
　　其他一些常用物理量的量纲和单位见附录1。
　　由于所有流体物理量（标量或矢量）都满足连续介质假设，则数学中的标量和矢量函数运算公式可被使用，其中一些常用的矢量运算公式及标记法见附录2。为书写简洁，本书采用张量标记的一些约定，如并列约定、求和约定和逗号约定等。
　　并列约定：指坐标xi(i=1，2，3)表示x1、x2、x3（或x、y、z坐标）；速度分量写为ui(i=1，2，3)表示u1、u2、u3（或ux、uy、uz，或u、v、w）。
　　求和约定（爱因斯坦求和约定）：如aibi(i=1，2，3)表示为
　　aibi(i=1，2，3)=a1b1+a2b2+a3b3（1.1.5）
　　又如ai=xijnj(i=1，2，3;j=1，2，3)表示为
　　（1.1.6）
　　非求和约定：通常需另外说明，如σii(i=1，2，3;非求和)表示为
　　（1.1.7）
　　σii(i=1，2，3)求和约定，表示为
　　（1.1.8）
　　逗号约定：如ui，i(i=1，2，3)，表示为
　　（1.1.9）
　　1.2 流体的可压缩性和热膨胀性
　　流体的可压缩性是指流体密度ρ在压力增大时因体积V被压缩而增大。流体的热膨胀性是指流体密度ρ在温度变化时是否因体积V的热胀冷缩而变化。流体的可压缩性和热膨胀性都是流体的重要属性。
　　流体的可压缩性常用体积弹性模量Ev表示，体积弹性模量的定义类似于固体力学中的杨氏模量，定义为
　　（1.2.1）
　　式中：Ev的量纲为ML-1T-2，单位为N/m2。水的体积弹性模量Ev在1个标准大气压和20℃时测得为Ev=2.2×109N/m2。因，如压力变化=220kPa（约两个标准大气压），则表示其体积变化（或密度变化）为0.01%。由此可知，水流在一般的流动中因密度变化甚小，常可忽略其变化而认为它是不可压缩的。根据水的体积弹性模量，即使在水深4000m处水压约为4×107N/m2，其密度变化约1.8%，在工程上仍可近似地认为其变化可忽略不计。对其他液体的体积弹性模量Ev的参考值见表1.1。
　　表1.1 不同液体的体积弹性模量参考值
　　空气的体积弹性模量Ev，在1个标准大气压和20℃时测得Ev=1.406×105N/m2，它虽然比水的体积弹性模量小得多（即更容易被压缩），但在空气流动速度不大，如气流速度在50m/s以下时，压力变化一般不超过1.5kPa，使=1.5kPa，则式（1.2.1）写成差分形式为　　
　　其体积变化或密度变化一般小于1%，在工程上常认为低速气流（即使气流速度达到100m/s）仍可近似地认为是不可压缩的。
　　流体的可压缩性与声速c有关，根据经验和物理概念，在流体介质中声速c主要与流体体积弹性模量Ev和流体密度ρ有关，即c＝f(Ev，ρ)。根据量纲分析，[c]=LT-1，因Ev的量纲[Ev]=ML-1T-2，ρ的量纲[ρ]=ML-3，可知的量纲为=LT-1，与c的量纲相同。故有经验关系式，其中K为比例常数，取K=1常与实际相符。故计算流体介质中声速的公式为
　　（1.2.2）
　　对于20℃的水，Ev=2.2×109N/m2，ρ=998.2kg/m3，所以
　　水在不同温度时，声速测量值见表1.2。
　　表1.2 水在不同温度时声速测量值
　　根据流体的体积弹性模量Ev的定义式（1.2.1），还可将式（1.2.2）改写为
　　或（1.2.3）
　　式中：下标s代表绝热过程求解。该改写的声速计算公式更适用于对空气声速的计算。在空气里声速的传播过程中，压力p和密度ρ的变化关系为等熵过程，更与实际声速测量值相符。即p/ρk=常数，其中，k为热容比（即定压比热容/定容比热容），对于空气绝热指数k=1.4，则
　　（1.2.4）
　　故在空气中声速计算公式又可写为
　　（1.2.5）
　　利用空气的状态方程
　　p=ρRT
　　式中：R为气体常数，空气的R=286.9J/(kg K)，则空气中声速c的计算公式为
　　（1.2.6）
　　在空气动力学中，常将气流速度u与声速c之比定义为马赫数Ma：
　　（1.2.7）
　　马赫数Ma是一个无量纲数，在空气动力学中用它对流动分类：通常，Ma<0.3为亚声速不可压缩流，常可忽略流体密度变化，与水动力学没有区别；若0.3≤Ma≤0.8，则要考虑气体的可压缩性，为亚声速可压缩流，0.8＜Ma＜1.2为跨声速流动，1.2≤Ma≤5为超声速流。Ma＞5为超高声速流。本书第9章将讨论可压缩流体空气动力学问题。
　　以上所述不可压缩流体（论是液体还是气体），其不可压缩并不意味着流体密度处处相当，而是指流体流动过程中因流动速度变化引起压力变化，从而产生的密度变化可忽略不计。对于流体不可压缩性的严格表述，将有进一步说明。
　　关于流体的热膨胀性，则以热膨胀系数表示。热膨胀系数的定义为
　　（1.2.8a）
　　或
　　（1.2.8b）
　　式中：下标p代表恒定压力下的偏导数。热膨胀系数的量纲为1/Θ，单位为K-1。
　　通常，流体随温度T升高其体积膨胀（或密度降低），但水的温度从0℃升高到4℃，体积反而缩小。水的体积在4℃时最小，其密度在4℃时最大，此为水的反常热膨胀性。不
　　同温度时，水的热膨胀系数也不同，表1.3为水在不同温度时的热膨胀系数。
　　表1.3 水在不同温度时的热膨胀系数
　　根据以上流体热膨胀系数αv的定义，随温度变化，液体密度从变为ρ的计算公式为
　　（1.2.9）
　　注：4℃时水的密度=1000kg/m3。
　　气体的热膨胀系数利用完全气体状态方程p=ρRT，近似地有
　　（1.2.10）
　　式中：T为气体的热力学温度。
　　1.3 流体黏性
　　流动性和黏性是流体最重要的属性。流体的流动性是指在任意微小的切应力作用下流体就会流动的特性。如水和空气这样的流体，它们都不能承受静切应力，但流动后的流体，由于流体的黏性而使流体之间和流体与固壁物面之间产生黏性切应力。
　　流体黏性是流体物质固有的特性，它使流体在固壁物面上具有无滑移边界条件：如固壁物面静止固定时，流体因黏性附着于固壁物面也总是静止固定的，壁面上的流体无滑移则切向速度为零。流体对固壁物面的法向速度当然也为零，但这不是因为其黏性而是因为流体不能穿越固壁物面。如固壁物面运动时，则流体也因黏性附着于固壁物面总是与该物面一起运动，物面上流体运动速度具有与物面相同的运动速度。最简单的例子是观察两块平行平板间流体流动，如图1.1所示，一块平板固定不动，另一块平板以速度u平行移动，两块平板之间的流体本来都是静止的，现由于一块平板以速度u平移，根据流体黏性无滑移边界条件，在该平板上所有流体都将以速度u与平板一起平移。这样在流层之间便存在速度差产生黏性切应力，就一层又一