魔研考研数学之高等数学/魔研考研系列丛书

作者简介

小侯七 新东方上海学校考研数学组组长，新东方武汉学校考研数学特聘顾问，魔研考研数学教研室负责人，新东方考研梦想宣讲团首席讲师，新东方最有价值教师奖（MVT）中唯一的考研数学讲师.

内容简介

第1章函数、极限和连续 考研大纲要求与重点导学 1．本章大纲考试要求 序号 考试内容与要求 适 用 科 目 1 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 数学一、数学二、数学三 2 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 数学一、数学二、数学三 3 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 数学一、数学二、数学三 4 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 数学一、数学二、数学三 5 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系 数学一、数学二 了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念 数学三 6 掌握极限的性质及四则运算法则 数学一、数学二 了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则 数学三 7 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 数学一、数学二 了解极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限的方法 数学三 8 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 数学一、数学二 会用洛必达法则求极限 数学三 9 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限 数学一、数学二 理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 数学三 10 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型 数学一、数学二、数学三 11 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性最大值、最小值定理和介值定理)，并会应用这些性质 数学一、数学二、数学三 2． 本章概要与重点导学 高等数学的核心思想是“用极限的工具研究函数的连续性”，本章正是高等数学的核心思想之所在.因此，对本章的掌握程度直接影响能否学好高等数学.函数及其性质是基础，尤其是函数的四个性质一定要弄透； 有一句话叫“得极限者得天下”，极限的概念、性质和计算是重中之重，大家要尤为重视； 无穷大和无穷小的概念及性质、无穷小的相关问题是考研试卷上的常客； 连续的概念、间断的判断、闭区间上连续函数的性质更是要融会贯通．从出题分布规律可知，本章对于数学一来讲，基本每年(个别年份除外)都会有一道小题或者一道解答题，甚至两者兼有； 对于数学二、数学三来讲，出题比例更加突出，希望大家引起重视． 必会基本内容 一、 函数 1． 函数的概念 设x与y是两个变量，D是一个非空的实数集．对每一个x∈D，按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为 y=f(x)或y=y(x)， 则称x为自变量， y为因变量，f为对应法则，D称为函数的定义域，实数集Z={y|y=f(x),x∈D}称为函数的值域． 魔研君点睛 在做函数概念及相关题时，函数的定义域都是首先要考虑的.而且在求函数的定义域时，不要忘了一些实际工程背景或者现实背景，这些都是影响函数定义域的重要因素. 【例1.1】已知f(x)=ex2，f［φ(x)］=1－x，且φ(x)≥0，求φ(x)并写出它的定义域． 解析 本题为1988年真题，是求解函数表达式的典型试题．做这类题时不要忽略定义域的求解，同时要掌握复合函数的运算技巧． 由题意得f(x)=ex2，所以f［φ(x)］=e［φ(x)］2，又f［φ(x)］=1－x，所以e［φ(x)］2=1－x．两边取对数，则［φ(x)］2=ln(1－x)，进而知道φ(x)=±ln(1－x).因为φ(x)≥0，所以φ(x)=ln(1－x)．又由题意得1－x>0且ln(1－x)≥0，故定义域为x≤0． 2． 复合函数与反函数 (1) 复合函数 设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=g(x)定义域为Dg，值域RgDf,则函数 y=f［g(x)］,x∈Dg 称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数,其中Dg为定义域，u为中间变量. (2) 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为R．对于每一个y∈R,都存在x∈D使得y=f(x)成立，则由此定义一个函数x=g(y)．这个函数就称为函数y=f(x)的反函数，记为 x=f-1(y)， 其定义域为R，值域为D． 3． 分段函数、隐函数及其他函数 (1) 分段函数 在自变量的不同变化范围中，不能用同一个表达式表示的函数称为分段函数.下面给出几种特殊的分段函数. 绝对值函数： y=|x|=x,x≥0, -x,x<0. 符号函数： y=sgnx= 1,x>0, 0,x=0, -1,x<0. 取整函数： y=［x］． 这类函数中x的取值是“不超过x的最大整数部分”，如67=0，［1．3］=1，［-3．7］=-4． (2) 隐函数 如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．有些隐函数可以显化，比如x2+4y2=1，可以显化为y=±1－x22； 而有些隐函数无法显化． (3) 变限积分函数: F(x)=∫xbf(t)dt(其中b为常数，此例为变上限积分函数)． (4) 参数方程定义的函数： 函数y=y(x)若以x=x(t)， y=y(t)，α≤t≤β的形式出现，则称之为参数方程确定的函数． (5) 幂指函数： 结构形式为u(x)v(x)的函数．见到此类函数形式，通常作如下变换： u(x)v(x)=ev(x)lnu(x). 新东方考研名师团队匠心打造，考研数学魔研君一路陪伴