玩游戏学数学(7上)/核心素养名师课堂/新教育K12课程系列丛书

作者简介

王志江，贞元教育创始人，贞元新教育K12卓越课程系统总设计师。北京市中学数学特级教师。曾任北京市市级示范学校校长。痴迷教育，勇于创新。曾在《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》《北京教育》《中小学管理》等国内核心报刊上发表教育教学论文50余篇，著有《寻找生命的枝枝蔓蔓》《七步研课法与三对话课堂》《重新理解教育》（合著）等。与宋亚男、赵俊杰合著“玩游戏，学数学”系列丛书。 赵俊杰，贞元新教育K12卓越课程（学前阶段、初中阶段）联合开发者，贞元教育初中数学卓越课程研发负责人，开封市贞元学校初中数学教师。与王志江合著《玩游戏，学数学》系列丛书（学前阶段、初中阶段）。

内容简介

第一章 有理数及其运算 第一节　学生怎样建构生成有理数观念 一、学生已有的有理数观念具有怎样的发展水平 评估题组： 1.整个小学阶段，你学习过哪些类型的数？请举例说明。 2.请将第1题中列举出来的“数”在一条直线上表示出来（直线上有无数个“点”，请将不同的“数”与不同的“点”对应起来） ，并说明理由。 3.数可以进行加法运算吗？请举例说明。 4.数可以进行减法运算吗？请举例说明。 5.数可以进行乘法运算吗？请举例说明。 6.数可以进行除法运算吗？请举例说明。 7.四种运算之间具有怎样的关系？请举例说明。 游戏参与者：飞、南（2017年秋季七年级新生） 游戏时间：2017年7月11日 游戏目的：评估七年级入学之前学生有理数观念的发展水平 评估实录： 师：小学阶段学过负数吗？ 飞：学过。 南：只学过负数的加减，没学过乘除。 师：在你们看来，加法、减法、乘法、除法之间具有怎样的关系？ 南：加法就是增多。 飞：减法就是减小。 师：5+（-3）=？ 南：等于2。 师：那么，加法是“增多”吗？ 南：应该是正整数之间的加法才会增多。 飞：应该是正整数、分数、小数之间的加法能够增多。 师：到底怎样的两个数相加，结果才会增多呢？ 南：整数。 师：整数还是正数呢？-3是整数吗？ 飞：应该是正数。 师：所以说，加法涉及负数时，结果不一定增加。 飞、南：嗯。 师：好，现在再回到我刚才的问题，加法和减法之间有怎样的关系？比如说2+3=5 这是一个加法，由这个加法算式你能得到减法算式吗？ 飞：5-3=2，5-2=3。 师：好，再想想乘法与除法之间具有怎样的关系。 飞：比如2×3=6，由此可以得到6÷3=2，6÷2=3。 师：加法和乘法之间有什么关系呢？ 飞：2+2+2=6，也可以表示成2×3=6，3个2相加也就是2的3倍；我还能从中看到除法，6÷2=3，6中包含了3个2。 师：还有补充吗？ 飞：把6平均分成2份，每一份都是3，也就是6÷2=3。 师：除法和减法有关系吗？ 南：6÷2=3也可以看成6-2-2-2=0。 师：好，这四种运算之间居然具有如此紧密的关系！下面，我们再讨论一个新问题：整个小学阶段，你学过哪些类型的数？ 飞：分数、小数、正整数、负整数。 南：分数、小数、整数。 师：有一点不同，为什么？ 南：正整数和负整数都是整数。 师：那0呢？ 南：0既不是正数，也不是负数。 师：0就是正负之间的分界线，那么0属于小数吗？ 南：它没小数点，不是小数。 师：它是分数吗？ 南：也不是。 师：看来飞分得不够细，把谁漏掉啦？ 飞：0。 师：我们再看一下分数和小数之间是什么关系。 南：可以互化。 师：分数一定能化成小数吗？ 南：不一定。化成的就是0.66666… 师：0.66666…是不是小数？ 南：是无限循环小数。 师：无限循环小数是不是小数？ 南：是。 师：那么分数一定能化成小数对吗？ 南：好像是吧。 师：你有遇到过一个分数不能化成小数的情况吗？ 南：暂时好像还没有。 师：在我们日常遇到的数字中，分数可能化成一个有限小数，也可能化成一个无限循环小数，能化成无限不循环小数吗？ 飞：应该有吧，不确定。 师：小数一定能化成分数吗？ 南：可以吧，比如0.25=。 师：0.33333…能化成分数吗？ 南：可以，就是。 师：你们是不是纠结无限不循环小数，比如说π，它能化成分数吗？ 南：。 师：这只是写成了分数的形式，但并不是分数，因为分数的分子一定要是整数才可以，这个π不是一个整数呀。 南：那么π就不能化成一个分数了。 师：那你们现在的结论是什么？ 飞：有限小数可以化成分数。 师：无限小数呢？ 飞：无限循环小数也可以，无限不循环小数就不行，比如说π。 师：所以，小数和分数之间能不能画等号呢？ 南：不能。 师：现在，我们将小学时学过的所有数进行分类。就像小时候分玩具一样，将一大堆分成几小堆，但是要注意，南的玩具就不属于飞；同样，飞的玩具也不属于南。 南：我分了5堆。 师：小数和分数可以分成两堆吗？ 南：可以。 师：那和0.5怎么解释呢？ 南：它俩是一样的。 飞：但是它俩的形式不一样啊。 南：我觉得可以把分数和小数能互化的分成一堆，不能互化的分成另一堆。 师：那请举一个不能互化的例子，比如说π，它是不是小数？ 飞：是。 师：它能化成分数吗？ 飞：不能。 师：好的。再回到刚才的问题，可以互化的那一堆里面你又分成了小数和分数，对吗？ 飞：对。 师：那么和0.5能不能放在一起呢？ 飞：可以啊，就是分数和小数啊。 南：关键是，和0.5是同一个数啊。 飞：可是现在的整体是，两个具有不同的形式啊！ 师：我给你们打个比方，就好比今天出门时穿了一件长袍，它就叫作分数；明天呢，它换了一件短袖，变成0.5，也就是说两天穿的衣服不一样，它的本质就变了吗？和0.5代表的都是1的一半，不能因为穿的衣服不一样就不是同一个数了吧？ 南：1的一半可以以分数的形式出现，也可以以小数的形式出现。 师：对，不过，我们区别数的一个重要特征就是看数的大小变没变，而不是看它外在的样子。 飞：明白了。 师：我们小学时学了那么多的数，如果把刚分的这些取走还剩哪些呢？ 飞：好多。 师：我们能不能给刚才分出来的那些数取一个名字呢？ 南：能化成分数的小数和不能化成分数的小数。 师：如果把它俩合起来有没有共同的名字呢？ 飞、南：不知道。 师：好，那我们再想想，从这个装满数的盒子里拿出了能化成分数的小数和不能化成分数的小数之后，还有剩余的数吗？ 飞、南：有。 师：剩下的都是什么数？ 南：整数。 师：整数能再细分吗？ 飞、南：正整数、负整数、0。 师：好，我们再看下一个问题。请将第①题中列举出来的“数”在一条直线上表示出来（直线上有无数个“点”，请将不同的“数”与不同的“点”对应起来），并说明理由。 师：什么叫数轴呢？它是一条什么样的线？ 飞：直线。 师：还需要什么条件呢？ 飞：分界点，0就是分界点。 师：也就是原点，还有吗？ 南：然后分成正整数、负整数和0。 师：原点0的左右两边都是什么数呢？ 飞：原点的右边都是正数，左边都是负数。 师：实际上你是规定了一个方向对吗？ 飞：对。 师：那-4为什么不能放在原点的右边呢？ 南：因为它是负数，负数就不能和正数放在一起，因为负数是比0小的。 师：那我把负数和正数调换位置可以吗？左边是正数，右边是负数可以吗？ 南：我觉得正数都要放在原点的右边。 飞：我觉得放在哪边都可以。 师：这又是为什么呢？能不能用一个箭头把方向统一一下呢？ 南：能统一！ 师：那这个箭头代表谁的方向呢？ 南：正数的方向。 师：如果我的箭头方向向右，那这个箭头表示的就是？ 飞、南：正方向。 师：所有的正数都需要放在原点的哪侧？ 南：右侧。 师：如果我的箭头标在左侧，正数还能不能放在原点的右侧呢？ 飞、南：不能。 师：如果有个同学是左撇子，他标的箭头向左，那他的正数应该放在哪侧？ 飞：原点的左侧。 南：我同意。 师：所以正方向是人为规定的，同意吗？ 飞、南：同意。 师：如果我画的直线不是水平放置的，而是竖直的呢？我规定向上为正方向可以吗？向下可以吗？ 南：可以。 师：直线如果斜着放呢？ 飞：也可以，只要箭头指向哪侧，正数在哪侧就可以。 师：好的，我们总结一下数轴需要具备的条件吧。 南：首先是一条直线。 飞：还需要一个分界点，就是原点。 师：还需要一个什么？ 南：得有一个箭头表示正方向。 师：还有吗？ 飞：0和1之间的距离与1到2之间的距离应该一样。 师：只有这两个距离应该一样吗？ 南：不是的，应该是所有相邻两个整数之间的距离都一样。 师：对的，我们通常把这个距离叫作“单位长度”，初学时，最好保持单位长度的一致。 师：在数轴上是不是一个点就对应一个数？ 飞：是的。 师：任意一个数是不是都能在数轴上找到一个点和它对应呢？ 南：是的。 师：我们知道，数都是有大小的，那么，数的大小跟它们在数轴上对应的点的位置有何关系呢？ 南：越靠近正方向的数越大。 师：对的，如果规定向右为正方向，那么，点越往右，则对应的数就越大；反之，则越小。 师：我们再接着探讨一个新问题吧，任意两个数都可以进行加减运算吗？ 飞：可以。这是我的作业。 师：加法运算好像没有提到负数，负数能参与加法运算吗？ 飞：可以的。5+（-3）=2，（-2）+（-3）=-5。 师：5+（-3）为什么等于2？ 飞：负数是小于0的数，所以，5加上一个负数肯定是越加越小，所以等于2。 师：（-2）-（-3）为什么等于1呢？ 飞：小学老师好像讲过，我记得就是应该等于1。 师：任意两个数可以进行乘法运算吗？ （飞的答案如下图所示。） 师：负数可以参与乘法和除法运算吗？ 飞：小学时学过负数的加法和减法运算，没学过负数的乘法和除法运算。 师：哦，没学没关系，我们现在一起看看，3×（-2）表示什么意思呢？ 飞：（-2）+（-2）+（-2）=-6。 师：为什么？ 飞：3×（-2）表示-2的3倍，也就是3个-2相加，其结果等于-6 师：真棒！虽然以前老师没有教过，但是，我们也完全可以解决啊！那么，（-6）÷2等于多少呢？ 南：-3。 师：你是怎么理解的？ 南：-6的一半，也就是把-6平均分成两份，每一份就是-3。 师：你们现在觉得负数可以参与四则混合运算吗？ 飞、南：应该可以。 师：好的，今天的讨论就结束啦！ 分析：学生头脑中构成认知图式的观念可以分为两类：一是前景观念，二是背景观念。前景观念是学生在有目的、有计划的学校教育中建构生成的观念；而背景观念则是学生在日常生活中无意识地内化生成的观念，或者由前景观念沉潜积淀而成，可以在需要时自动化运作的观念；如果学生运用自己的前景观念去解决实际问题，他既知其然，也能知其所以然，也就是说，他不仅知道怎么做，而且也知道为什么要这么做（清楚方法或程序背后的原理）。而当学生在无意识中运用自己的背景观念去解决实际问题时，如果这个背景观念是由日常经验内化而成的，那么，他就只能知其然，而不能知其所以然，也就是说，他知道怎么做，但是不知道为什么可以这样做；如果这个背景观念是由曾经的前景观念沉潜积淀而来，那么，他在确保正确解答的前提下，根本用不着花费时间和精力去思考方法或程序背后的原理（自动化思维）。教学或学习应该聚焦的是前者，而后者是“坐享其成”——享受以前的学习成果所带来的便捷与高效。 对于刚刚入学的七年级学生来说，他们头脑中由前景观念所构成的认知图式可以用下图来表示（仅与本章学习相关）。 图1-1：七年级学生头脑中由前景观念所构成的认知图式 通过评估测试，我们不难发现，此阶段的学生有关有理数观念的建构发展水平具有以下几个特点： （1）虽然在小学阶段已经接触过负数，而且能够解决一些比较简单的与负数相关的加减运算问题，但是，他们的负数观念仅仅停留在某些实际情境之中，比如温度低于0℃时就可以用负数表示，一旦脱离实际情境，他们还不能把握负数的形式化的特征。而有关负数的加减法运算也仿佛是“跟着感觉走”——不能清晰解释蕴含其中的算理（当然，小学关于负数的教学要求本就限于浪漫感知即可，对运算是不做要求的）。 （2）从自然数到负数，在数系扩展的过程中，学生并没有有意识地去关注不同类型的数相互之间的继承与发展关系，他们还不能选择合适的标准对非负有理数进行准确分类，也不太清楚如果自己选择的分类标准不同，则分类结果就会不同。 （3）在学习非负有理数的四则运算时，学生多数是通过机械练习以提高运算速度和准确率的，他们很少有意识地去关注不同运算之间的联系，从而形成良好的数感。 （4）虽然现行教材多数在一年级时就引入了“数据线”，但是，七年级学生并没有从最初的“数据线”逐步建构生成数轴的观念。对于七年级的学生来说，缺少了数轴这个非常重要的数形结合的工具，实在令人遗憾！不过，万幸的是，通过评估测试我们不难发现，给七年级学生引入数轴并不困难，亡羊补牢，为时未晚！ 一般来说，学生的有理数及其运算观念会经历以下几个发展阶段。 萌芽期：自然数的诞生；100以内的四则运算；伴随着十进制与位值制观念的不断提升，大数的认读及其运算；数系从自然数扩充到小数和分数时，小数和分数的大小比较、四则运算等观念的建构生成。 生长期：负数的诞生；任意一个有理数与数轴上的点具有一一对应关系，有理数之间的大小比较，任意一个有理数的相反数和绝对值，有理数的四则混合运算等观念的建构生成。 成熟期：数系从有理数扩充到实数，从实数系反省回顾有理数系，从而对有理数的大小比较和四则运算问题拥有更为灵活和深刻的领会。 显然，七年级（入学之初）学生的有理数运算观念处于生长早期。 新教育K12卓越课程系列丛书 五大核心数学观念，阶段递进式教学方法，科学的课程设置，精彩的课堂实录，告诉老师数学怎么教！ 生动有趣的数学课堂，科学好玩的数学游戏，注重数学思维与动手能力的结合，让孩子爱上数学！ 数学特级教师告诉你，数学可以这么教，游戏应该这样玩！ 作为一名数学教师，应该研读这本书，因为它是真正从学生发展去谈数学教育的； 作为一名家长，更应该研读这本书，因为我们爱孩子，我们的孩子是活泼泼的！