数学家的眼光(典藏版院士数学讲座专辑)/中国科普名家名作

作者简介

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内容简介

好多年以前，我像你们这样大的时候，曾经和小 蚂蚁开过这样的玩笑： 用樟脑球在地上画个圈，圈住一只蚂蚁。可怜的 小蚂蚁，爬来爬去，再也不敢爬出这个圈子了。 这个圈，是三角形的也好，正方形的也好，不规 则的鸭蛋形也好，对小蚂蚁来说都是一样的——反正 爬不出去。 在我们看来很不相同的三角形与圆，此时此刻， 对于蚂蚁却没有什么区别了。蚂蚁感兴趣的是：这个 圈有没有一个缺口？ 有一门数学，叫拓扑学。数学家在研究拓扑学的 问题的时候，倒和小蚂蚁有点同感。这时，他们也觉 得，三角形的圈、圆形的圈、矩形的圈，没有什么分 别，反正是个圈。 是不是拓扑学家的眼光就和蚂蚁的眼光完全一样 呢？也不尽然。如果圈子很大，能圈进半个地球，或 圈子极小，小得放不进一粒细沙，蚂蚁就无所畏惧了 。这就是说，圈子的大小，在蚂蚁看来是不同的；． 但对于拓扑学家，圈子的大小是真正无所谓的，小得 像原子，大得像太阳系，都一样，反正是个圈子。 在弹性很好的橡胶膜上画个图形，你把橡胶膜压 缩、扯大或揉成一团的时候，图形会变得稀奇古怪。 三角形也许会变成六边形，圆圈也许会变成一只小鸭 。但只要不把橡胶膜扯破，不把某两部分粘合在一起 ，在拓扑学家看来，这个图形就等于没有变。 从拓扑学的观点来看，皮球和橡胶做的空心洋娃 娃没有什么分别，但皮球和汽车轮胎却完全不同。的 确，蚂蚁放在皮球里爬不出来，放在轮胎里也爬不出 来，但拓扑学家却有更巧妙的手段来查清皮球与汽车 轮胎之间的不同。如果轮胎里有两只蚂蚁，可以用一 块圆环形隔板把它们隔开，在皮球里，圆环形的隔板 是不可能把两只蚂蚁隔开的！ 拓扑学家把我们眼里很多不同的图形看成是相同 的，然后把他们眼里相同的图形归为一类。分类的结 果，平面上的封闭曲线，如果不带端点，不带分岔点 ，就只有一种：圈。 空间的封闭曲面，如果不带边缘(圆筒、碗都有 边缘，球、轮胎都没有边缘)，不带分岔点，最简单 的是球面。 球面上挖两个洞，镶嵌上一截管子(叫环柄)，在 拓扑学家眼里，便和轮胎没有分别了。再挖两个洞， 又可以加一个环柄。一个球上可以镶上任意多个环柄 。这样，现实空间里所有不带边的面、不带分岔点的 曲面，便都在其中了。 似乎在拓扑学家眼里，世界要简单一些。但拓扑 学的问题却并不简单，有不少难题尚待解决。现代数 学的许多分支，都要用到拓扑学的基本概念与成果。 最后，再回到蚂蚁爬不出的圈子里来。这样的一 个圈，是一条连续的、封闭的、自己和自己不相交的 曲线，叫做简单闭曲线，也叫“若当闭曲线”。若当