全国卷满分秘籍(压轴小题篇全国通用)/高考数学专题系列/洞穿高考数学辅导丛书

作者简介

张永辉，**高考数学研究与辅导专家、中国新生代高中数学教育领军人物，洞穿高考数学辅导丛书主编、组合教育创始人。主要作品：《洞穿高考数学辅导丛书》，其中《高考数学题型全归纳》连续五年京东、**、***等同品类销售排行榜**。

内容简介

191*266 ◆评注◆ 〖=d(〗开 篇 综 述〖=〗开 篇 综 述 高考数学中有关选择题、填空题的难点，历来是数学老师和**学生所关注的焦点.我们在解出这些难题之时，如果可以提出问题，对题目从“深”与“申”两个层面上进一步研究，挖掘每个题目的背景，那么对提高解题能力和研究型学习能力都大有裨益. 纵观历年高考题目不难发现，这些难度偏大的选择题、填空题的题干几乎都是紧密围绕着高中数学几大重点模块知识展开叙述，只是在考查的灵活性以及多个知识点的综合应用上下了功夫.因而我们要立足本质，强化重要内容，对于关键知识点深刻领会，触类旁通. 本书从全新的视角，以高考数学重要模块为明线、数学解题思想和方法为暗线，串联了选择题、填空题案例共计36个，从挖掘试题本源、探寻试题内涵的角度，对试题进行庖丁解牛式的讲解.相信本书中的每一道试题都能带给你不一样的感受，让你的脑洞大开. 〖=d(〗**讲〖=〗 〖=bt3(〗案例一多角度分析集合中的问题〖=〗 案 例 导 言 在解答有关集合的问题时，始终要清晰地知晓问题中元素与元素、元素与集合、集合与集合之间的关系，然后运用集合元素的特征、交并补的运算，并辅以韦恩图、数轴等图形进行数形结合的分析推导. 本案例从不同角度出发，分别转化为二项式定理、集合个数、数列的相关问题进行解答，在解答过程中，请留意分类讨论思想和递推思想的运用及分类的标准如何影响问题的转化. 经 典 案 例 〖=AL(〗案例1(2015年朝阳区模拟14)假设Mn={1,2,3,…,n}，n≥2，n∈N*，A,BMn，集合A中*大的数小于集合B中*小的数，问有序对“(A,B)”有对.〖=〗解析角度1： 从A∪B元素的个数分析，进行分类相加 假设A∪B中有m个元素，则2≤m≤n，m∈N*. 设m个元素分别为a1，a2，a3，…，am，且a10，所以ymax=2. 〖=pz(〗用跨界的知识解决问题需要很强的转化、划归的能力，同时也可以锻炼一个人的发散思维、多角度分析问题的能力，应在平时的练习中注意学习与培养.〖=〗 案例研究与推广应用 一、 相似案例研究 例2.1(1) 求函数y=x-1+6-2x的*大值； (2) 求函数y=x-1+12-6x的*大值. 解析(1) 典型错解： x-1+6-2x2≥y22,① 即 y24≤5-x2y2≤2(5-x)=10-2x. 再由定义域可知{x|1≤x≤3}，则 y2≤10-2x≤8ymax=22. 以上解法虽然看上去顺理成章，但是这个过程忽略了一个重要问题.对于①，当x-1=6-2x时等号成立，而10-2x≤8这一步需要x=1时等号成立，而这两者明显不可兼得，所以只可以证明此时y<22，不能取等号. 正解： 方差法解题成立的一个很重要的前提条件是x21+x22+…+x2n应该是一个定值.考虑到这一点，本题应该给出如下做法. y=x-1+22·3-x+22·3-x. 利用关系可得 x-1+12(3-x)+12(3-x)3≥y32， 所以y32≤23y2≤6，当且仅当x=53时，y有*大值，且ymax=6. (2) 由y=x-1+6·2-x，可将第2项等分成6项得到 y=x-1+66·2-x+66·2-x+66·2-x+ 66·2-x+66·2-x+66·2-x. 利用案例导言中的不等关系式可得 x-1+16(2-x)×67≥y72， 所以y2≤7,当且仅当y=87时，y有*大值，且ymax=7. 〖=pz(〗即使学习完以上的解法之后，若做题时不注意一些细节，也还会发生错误.请看下面的例子.〖=〗 例2.2求函数f(x)=x-1+x-2+6-2x的*大值. 解析错解：设y=f(x)，利用不等关系式可得 x-1+x-2+6-2x3≥y32,① 所以y32≤1ymax=3. 正解：利用方差法解题时除了应注意x21+x22+…+x2n为定值这个条件以外，还应当注意等号成立的条件. 很明显，s2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2n≥0，当且仅当x1=x2=…=xn=时等号成立，这一点通过方差的定义和实际意义都是很好理解的. 但本题中很明显x-1≠x-2，所以①中的等号是不可能成立的.本题应当只存在不等关系x-1+x-2+6-2x<3. 〖=pz(〗一般地，在一个函数关系式中，如果含自变量的一边是几个二次根式的和，且这几个二次根式的平方和等于一个正定值，那么当这几个二次根式的值相等时，函数取得*大值，并且该函数的*大值可以利用方差公式求出.但由于不一定能找到一个数使三个及以上的含有同一个字母的二次根式的值相等，因此在这种情况下，即使各二次根式的平方和等于一个正的定值，这个函数的*大值也不可以利用方差公式求解.〖=〗 二、 案例推广 推广1： 已知x1+x2+…+xn=n，且xi∈R，i=1,2,…,n，那么 x21+x22+…+x2n≥n. 此结论还可以继续推广如下. 推广2： 若x1+x2+…+xn=aa∈R，则有不等式x21+x22+…+x2n≥1na2成立. 例2.3设x1,x2,…,x19∈N*，且满足x1+x2+…+x19=95，则x21+x22+…+x219的*大值为. 解析分析本题，易得x1,x2,…，x19的平均数为5，是一个定值，则 s2=∑19i=1x2i-19×5219， 于是∑19i=1x2i*大时，说明s2也*大.利用方差的意义可知，当x1,x2,…,x19这19个数中有18个取1，**9个取77时，s2*大.所以x21+x22+…+x219的*大值为18×1+772=5947. 例2.4已知△ABC的三边分别为a，b，c，满足： (1)a>b>c>0； (2)2b=a+c； (3)b∈N*； (4)a2+b2+c2=84.求b的值. 解析因为2b=a+c，所以a+b+c=3b.由方差公式知 s2=13(a2+b2+c2)-13(a+b+c)2， 所以s2=13(84-3b2)=28-b2≥0，故 b2≤28.① 由于2b=a+c4b2=a2+c2+2ac=84-b2+2ac>84-b2，所以 b2>845.② 由①、②得 8450， 所以s(t)