图像处理中的数学修炼

作者简介

左飞，技术作家、译者。他的著作涉及图像处理、编程语言和数据挖掘等多个领域，并译有《编码》等计算机领域的经典著作。曾荣获“最受读者喜爱的IT图书作译者奖”。现在的研究兴趣主要集中在图像处理、数据挖掘等领域。在CSDN上的技术博客（http://blog.csdn.net/baimafujinji）非常受欢迎，拥有过百万的访问量。之前所出图书销量均在上万册左右。

内容简介

第3章泛函分析及变分法 前面介绍的数学知识是学习图像处理的基础，同时也是大学教育中工科数学的必修内容。如果是仅仅作为数字图像处理学习入门的先修课程基本已经足够。但数字图像处理技术是一门发展非常迅速的学科，一些新方法新理论不断涌现。因此，要想把数字图像处理作为一门学问来深入研究，显然仅仅掌握前面的数学知识仍然远远不够。本章主要介绍更进一步的数学知识，这些内容主要围绕泛函分析和变法等主题展开。这些知识与前面的内容相比要更加艰深和抽象。对于本章内容的学习，侧重点应该更多地放在有关概念的理解上，而非是深究每一条定理该如何证明。当然本部分内容仍然与前面的内容紧密相连，所以读者务必在牢固掌握之前内容的基础上再进行本章的学习。 3.1勒贝格积分理论 前面介绍过积分的概念，彼时所讨论的积分首先是由黎曼严格定义的，因此之前所研究的积分通常称为黎曼积分，简称R积分。黎曼积分在数学、自然科学或者工程科学中具有非常重要的作用，正如前面所介绍的那样，诸如弧长、面积、体积、做功、通量等概念都可以借助黎曼积分来表达。然而，随着现代数学和自然科学的发展，黎曼积分的缺陷也逐渐显现。这时勒贝格积分便应运而生了。在介绍勒贝格(Lebesgue)积分的概念之前，有必要介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，这些内容是建立勒贝格积分的必要前提。 3.1.1点集的勒贝格测度 点集的测度是区间长度概念的推广。设E为直线R上任意一个点集，用mE表示E的测度。如果E是直线上的区间（a,b），或者E=［a,b］、(a,b］、［a,b)，那么自然会想到可以定义该区间的长度b-a为它的测度，即mE=b-a。如果E是直线上的开集，那么可以根据开集构造定理定义它的测度。 定义设G为直线上的有界开集，定义G的测度为它的一切构成区间的长度之和。也就是说，若 G=∪k(αk,βk) 其中，(αk,βk)是G的构成区间，则 mG=∑k(βk-αk) 如果G的构成区间只有n个，那么上式右端是有限项(n项)之和，即 mG=∑nk=1(βk-αk) 如果G的构成区间是可数多个，那么上式右端是一个无穷级数 mG=∑+∞k=1(βk-αk) 由于G是有界开集，因此必然存在开区间（a,b），使G（a,b），所以对于任何有限的n，有 ∪nk=1(αk,βk)（a,b） 从而有 ∑nk=1(βk-αk)≤b-a 令n→+∞，得 mG=∑+∞k=1(βk-αk)≤b-a 探索图像处理中的数学问题，帮助读者夯实基础、强化所学，更能帮助读者建立一条连接数学和图像处理世界的桥梁。