量子力学(普通高等教育十二五规划教材)

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第1章 量子论基础
　　量子力学是描述微观世界结构、运动与变化规律的物理科学，是20世纪初期在总结大量实验事实和旧量子论的基础上发展起来的，它与相对论一起构建了现代物理学的理论基础。19世纪末20世纪初，经典物理已经发展到了相当完善的地步，但在实验方面却遇到了一些严重的困难，例如，黑体辐射、光电效应、康普顿散射、氢原子光谱以及固体在低温下的比热等，都是经典物理学所无法解释的，这些无法解释的现象引发了物理学界一次重要的变革，也正是这次变革促使了量子力学的产生，使得人们对微观世界的规律有了更深刻的认识，随后，快速发展的量子力学指导人们更好地掌握了这些基本规律，并且广泛应用到了物理、化学等学科和近现代技术之中。在讲述量子力学这门课程之前，我们首先对这些有关量子理论发展的历史作一个简短的回顾。
　　1.1 黑体辐射
　　量子理论可以说是开始于普朗克(M.Planck)1900年对热辐射的解释，所有物体都发射出热辐射，这种辐射是一定波长范围内的电磁波，对于外来辐射，物体有反射或吸收的作用，所谓黑体就是全部吸收投射到它上面的辐射而无反射的物体，如图1.1所示，如果在一空腔上开一个小孔，那么通过这个小孔逸出的辐射是如此乏少，以致它的逸出对空腔内部的辐射没有什么影响，这个小孔的作用就像是一个理想的黑体，因为任何从空腔外面射入小孔里的辐射基本上被完全吸收，从小孔逸出的辐射也称为黑体辐射，它是内部辐射的样品，理论和实验表明，这种辐射与构成空腔的材料无关，而只依赖于空腔的温度。19世纪末的物理学家想要而且相信能回答的问题是：黑体辐射的频率是怎样分布的？
　　经典热力学提供了部分答案，维恩(W.Wein， 1893)仅根据热力学推理得出结论：腔内每单位体积频率在与之间的辐射能量可表达为
　　(1.1)
　　然而，函数的形式单从热力学不能得出，当然它能用实验确定，而且已经这样做了，实验曲线如图1.2所示，进而，维恩(W.Wien， 1896)从分析实验数据得出的半经验公式为
　　(1.2)
　　式中，和是两个经验参数，除低频部分外，维恩公式与实验曲线符合较好，
　　图1.1 空腔辐射体的示意图
　　图1.2 黑体辐射谱
　　瑞利和金斯(J.W.Rayleigh，1900;J.H.Jeans，1905)曾用统计力学求函数的形式，考虑体积为的立方箱内的辐射场，假定此立方体内既无电荷又无电流，且有能完全反射的内表面（理想导体谐振腔）。在腔内利用电磁场的边界条件求波矢的各分量满足
　　(1.3)
　　这样数组对应着一个可能的波矢k和两个可能的振动模式（因为有两个独立的偏振方向）。对每一组的可能取值，就得到k空间中一点，所有这些点在k空间组成边长为的立方体，立方体的体积为，每个立方体有8个顶角，每个顶角分属8个立方体，因此平均每个立方体只含一个格点，也就是一个状态，那么庇空间中体元中所含状态数为
　　取经典极限，即可得具有一定偏振的波矢忍在之间的电磁场的振动方式数目为
　　采用球坐标，注意到，可得波矢大小在k～k+dk范围内的状态数目为
　　考虑到对每一个庇值，有两个可能的极化方向，可得
　　那么单位频率内的状态密度为
　　(1.4)
　　按统计力学，当该系统在温度T下处于热平衡时，每一个自由度的平均能量是（能量均分定理），而每一振动的平均能量为，这里k是玻尔兹曼常量，这样频率在与之间的能量密度就是
　　(1.5)
　　此公式在低频率部分与实验曲线比较符合，但在高频部分与实验明显不符，当时，而且总辐射能量密度发散，
　　(1.6)
　　此即历史上所谓的“紫外灾难”，原因很明显，对电磁场的每一个振动方式都分配了有限能量KT，而这些振动方式有无穷多个，
　　为解释黑体辐射现象，普朗克(1900)改进维恩公式，提出了另一个两参数公式
　　(1.7)
　　普朗克公式形式简单，而且相对于当时已有的几个公式与实验符合得最好，此后，普朗克致力于对此公式的理论解释，普朗克公式的建立仍然可采用与瑞利金斯公式同样的步骤，差别在于每～振子的平均能量的取值，瑞利金斯公式来自能量均分定律，而能量均分定律又来自玻尔兹曼分布，实事上，振子处于能量的概率为
　　(1.8)
　　由此得出一个振动方式的平均能量为
　　(1.9)
　　如果振子能量不像经典振子那样取连续能量值，而只能取的整数倍那些分立值，即
　　(1.10)
　　则频率为v的振子的平均能量为
　　(1.11)
　　这样在的辐射能量密度为
　　(1.12)
　　这就是普朗克公式，至于普朗克常量，当时由理论与实验数相符而确定为，其目前测量值为。
　　普朗克成功的关键是把黑体看成一组连续振动的谐振子，而振子的能量值只能取最小能量单位的整数倍，于是黑体与辐射场交换能量也只能以为单位进行，于是，黑体吸收或发射辐射能量的方式是不连续的，只能“量子”式地进行，每个能量子的能量为，普朗克的能量子假说是与经典物理的基本观念根本对立的，因为经典振子的能量正比于振幅的平方，而振幅可以连续变化，所以振子的能量也就可以连续变化，因此，这一假说是对经典物理学的革命性突破，导致了量子论的创立，遗憾的是，普朗克在推出公式以后的十多年里，还一直试图抛开，甚至不相信量子的概念，而是想把它纳入经典理论的框架内，尽管他费尽心血，采用了许多新的技巧，但是都没有成功，直到他自己提出的这个假设在越来越多的其他问题上取得了巨大成功后，才不得不确信他的假说是正确的。
　　1.2 光电效应
　　赫兹(G.Hertz，1887)发现用紫外线照射火花隙的阴极时放电现象较易发生，直到汤姆孙(J.J.Thomson，1896)通过气体放电现象和阴极射线的研究发现电子之后，林纳德(P.Lenard，1902)用实验证明，这是由于紫外光照射金属表面时，大量电子逸出所造成的，这种现象称为光电效应，逸出的电子称为光电子，实验表明，光电效应呈现以下特点：
　　(1) 对每一种金属，都有一个确定的截止频率，若照射光频率，则不论光的强度多大，都不会有光电子逸出；当光的频率时，不论光多微弱，只要光照到金属表面上，几乎在10-9s的极短时间内，就能观测到光电子。
　　(2) 光电子的最大动能依赖于入射光的频率，而与入射光强度无关。
　　(3) 光电流的强度与照射光强度成正比。
　　以上实验规律，特别是前两条，是经典电磁理论无法解释的，这是因为按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度，即只与电磁波的振幅有关，而与光的频率无关。
　　爱因斯坦(A.Einstein，1905)在普朗克能量子假说的基础上，提出光量子的概念，即光的能量是量子的，光的量子称为光子，对频率为的光波，其光子的能量为
　　(1.13)
　　由狭义相对论的质能关系式，并注意到光子的静止质量m=0，可得光子能量与动量的大小关系E=pc。由此可得光子的动量为
　　其中，A为光波的波长，上式可进一步写成矢量形式
　　(1.14)
　　式中，n为光传播的方向，即光子运动方向，当光射到金属表面上时，能量为的光子被电子所吸收，电子把这一能量的一部分用于克服金属表面对它的吸引力，另一部分就是挣脱金属表面后电子的动能，这样，爱因斯坦光电效应方程为
　　(1.15)
　　式中，E为光电子的动能，当Ek=0时，可得到光的截止频率
　　(1.16)
　　爱因斯坦的光量子假说成功她解释了光电效应，但是，并不是一开始就被所有人接受，其中不乏当时有影响的科学家，密立根(R.A.Milliken，1914)就花了整整九年时间设计了更加精密的实验装置，试图否定爱因斯坦方程，结果事与愿违，反而用实验完全证实了这个方程，由这个实验也测得，与普朗克的h值非常接近，但测量值来自不同实验，这对当时确立量子论的地位具有重要的作用。
　　1.3 康普顿效应
　　康普顿(A.Compton，1923)用X射线入射到原子质量较轻的靶上，发现散射后其波长随散射角的增加而增大，即康普顿效应，康普顿和德拜(P.Debye)同时基于光子的概念予以解释，
　　如图1.3所示，假定电子是自由的（或弱束缚的），且碰撞前静止，于是由能量守恒可得
　　(1.17)
　　由动量守恒，可得
　　(1.18)
　　(式(1.17))2/c2-(式(1.18))2，并利用能量一动量关系式，可得
　　(1.19)
　　对于光子，则
　　(1.20)
　　代入式(1.19)，可解出
　　(1.21)
　　利用，式(1.21)改写成
　　(1.22)
　　令
　　(1.23)
　　则
　　(1.24)
　　从式(1.22)可见，散射光的波长随散射角的增加而增大，与实验结果符合，一般而言，称为静质量m的粒子的康普顿波长，并能用作粒子大小的量度。
　　图1.3 康普顿散射
　　康普顿公式(1.22)中含有普朗克常量h，这是经典物理学无法解释的，康普顿散射实验是对光量概念的一个直接的强有力支持，此外康普顿实验还证实了： 普通高等院校物理类各专业本科生及部分工科院校研究生，相关专业的师生