说谎者悖论

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第10章 奥斯汀语义学 第4节 奥斯汀完备性定理 本节预设第7章阐述的内容。在第7章中，我们发展一种证明论，以分析当语句表达同一罗素命题时它们之间的关系。在本节中，我们表明，这里所用的同一种证明论，在一种非常强的意义上还可以分析表达同一奥斯汀命题的关系。 定理18(奥斯汀可靠性和完备性定理)对于L的任何两个语句φ和ψ，下列表述是等值的： (1) 运用第7章的公理和规则，可得φ∈ψ。 (2) 对于某个情境s而言，Exp(φ，s)=Exp(ψ，s)。 (3) 对于每个情境s而言，Exp(φ，s)=Exp(ψ，s)。 这个结果有两个有用的系理。第一，语句表达同一罗素命题，仅当它们表达关于某个情境s的同一奥斯汀命题。第二，我们看到，如果两个语句表达关于一个情境s1的同一命题，那么关于其他任何情境s2，它们也表达同一命题。因而，表达同一命题，无关于我们感兴趣的是哪种阐释，并且在奥斯汀阐释中，还可以从一个情境转到另一个情境。这个结果是定理13的证明的一个假定，并且还将被用于下一章的映像定理的证明。特别地，我们将需要，给定一个语句φ，则存在一个正规形式语句ψ，使得φ∈ψ是可证的，因此在所有这些意义上，ψ表达同一命题，就像初始的φ那样。的确，对于这些结果的需求是发展我们的证明论的最初动机。 这种可靠性和完备性定理的这两个重要部分的证明基本上都仅仅是相应的罗素可靠性和完备性定理的证明的参量版本，因此给定前面的证明，这里可以阐述得很简单。 (1)(3)的证明。这个证明完全类似于第114页第7章中的可靠性定理的证明。唯一的不同是，赋值函数F必须满足：对于某个φ∈e和某个s而言，F(Pe)=Exp(φ，s)。我们把它留给读者来证明。□ (2)(1)的证明。这个证明完全类似于第114页第7章中的完备性定理的证明。固定一个特定情境s。像在那个证明中那样来定义A，并且像在那里描述的那样来考虑集合S，除了我们希望在S中，φ0∈ψ0，当且仅当Exp(φ0，s)=Exp(ψ0，s)。显然，S再次是齐次的。