连续变量系统中的量子关联问题研究

作者简介

马瑞芬，副教授，本科毕业于东北师范大学，硕士毕业于四川大学，博士毕业于山西大学，现任职于太原科技大学应用科学学院。主持国家自然科学基金青年一项，主持并完成山西省自然科学基金一项，参与国家自然科学基金面上项目两项（一项结题，一项在研）。工作以来从事研究生课程泛函分析、非线性分析的教学,对算子代数和算子理论有一定的掌握。近几年主要研究连续变量系统尤其是高斯系统中的量子信息理论,并取得了一定的成果, 相关论文发表在《Quantum information Processing》(SCI)、《International Journal of Theoretical Physics》(SCI)、 《Communications in Theoretical Physics》（SCI）、《Quantum Information and Computation》（SCI）、《四川大学学报》(自然科学版)、《山西大学学报》(自然科学版)等刊物上。

内容简介

第1章绪论 本章主要介绍后面章节中常用的有界线性算子、HahnBanach延拓定理等泛函分析基础知识以及连续变量系统中的量子关联基本概念和结论。 1.1Banach空间及算子 定义1.1设X是实或复线性空间，如果在X上定义了非负函数·,满足下列公理。 (1)三角不等式：对任意的x，y∈X,有x+y≤x+y。 (2)对任意的x∈X,任意的数a,有ax=ax。 (3)x=0当且仅当x=0, 称X为赋范空间。进而，如果还满足 对X中的任意柯西序列xn（即当n、m→+∞时，xn－xm→0），存在x∈X使得limn→+∞xn－x=0,则称X是Banach空间。 满足（1）～（3）的非负函数·称为X上的范数。满足（1）和（2）的非负函数·称为半范数。 设f为X上的线性泛函。如果f=supx≤1fx<+∞,称f为X上的有界线性泛函。记Banach空间X上的有界线性泛函全体为X,则X按通常函数的加法和数乘法成为线性空间。X*，·也是Banach空间，称此空间为X的共轭空间。 设X和Y是Banach空间，T：X→Y是线性映射。如果T=supx≤1Tx<+∞,称T有界。T是连续的当且仅当T是有界的，而T称为T的范数。 在Banach空间及算子理论中，通常认为开映射定理、闭图像定理、HahnBanach延拓定理和一致有界原理是*基本的定理，我们列举部分定理如下。 定理1.1（开映射定理）设T是Banach空间X到Banach空间Y的有界线性算子，且TX=Y,则T为开映射。 定理1.2（HahnBanach延拓定理）如果f为X的闭线性子空间上的有界线性泛函，则f可保范地延拓为X上的有界线性泛函。 接下来，我们给出HahnBanach延拓定理的几何解释。首先，给出超平面的概念： 对一般无穷维的Banach空间X上的连续线性泛函f(x),称点集 {x∈X∶f(x)=c}为X中的超平面，这里c为常数。设M是X中的线性流形，x0∈X\\M,我们称点集g=x0+M{x0+x:x∈M}为X中的线性簇。 例如，对于三维空间上的线性泛函 f(x,y,z)=ax+by+cz, 点集{(x,y,z):f(x,y,z)=d} 正是三维空间中的一个平面，这里d为常数。 定理1.3 （HahnBanach定理的几何形式）设X是线性赋范空间，若X中的线性簇g与开球K不相交，则有超平面H包含g而且与K不相交。 Mazur在1933年从几何的观点陈述了HahnBanach延拓定理，得到如下重要定理。 定理1.4设M是实线性赋范空间X中的凸闭集。若0∈M,而x0M，则存在X上连续线性泛函f,使得 f(x0)>1,而f(x)≤1,且x∈M 定理1.5（一致有界原理或共鸣定理）设Tαα∈Λ为Banach空间X到Banach空间Y中的一族有界线性算子。如果对任意的x∈X有supTαx，α∈Λ<+∞,那么supTα，α∈Λ<+∞。 从X到Y的所有有界线性算子的集合记为BX，Y;如果X=Y,简记为BX。赋予算子范数，BX，Y成为Banach空间。范数定义的拓扑又称为一致拓扑。 设T∈BX，Y,符号ranT和kerT分别代表T的值域和零空间。算子T∈BX，Y称为有限秩，如果T的值域ranT是有限维子空间，则ranT的维数也称为T的秩。用FX，Y表示BX，Y中所有有限秩算子的集合。设y∈Y,f∈X*非零，则由x〈x，f〉y定义的算子是秩一的，记为yf。BX，Y中的每个秩一算子都可表示为这种形式。xf的迹是f在x点处的值，即Trxf=〈x,f〉。 定义1.2令T∈BX，Y,由T按如下方式可定义另一算子T*： T*fx=fTx,x∈X，f∈Y 其中，T*是Y到X的线性算子，则称T*是T的共轭算子。易验证T*也是有界的,且T=T*。 有界线性算子的谱以及各种谱函数是矩阵特征值概念的推广，是算子很重要的研究对象，下面给出相关定义。 定义1.3设X是复Banach空间且T∈BX,则： (1)T的谱σT是集合(λ∈？瘙
綇，λI－T在BX中不可逆)； (2)T的点谱σpT是集合(λ∈？瘙
綇，存在非零向量x∈X,使得λI－Tx=0); (3)T的近似点谱σapT是集合(λ∈？瘙
綇，存在单位向量序列xn+∞n=1X使得λI－Txn→0); （4）T的满谱σsT是集合(λ∈？瘙
綇，λI－TX≠X); （5）T的压缩谱σcT是集合(λ∈？瘙
綇，ranλI－T在X中不稠密)； （6）T的谱半径rT=supλ，λ∈σT=limn→+∞nTn≤T。 定义1.4设H是线性空间，〈·，·〉是其上的一个二元函数。如果〈·，·〉关于第一个变元是线性的,而关于第二个变元是共轭线性的，且满足下列条件：对任意x、y∈H,有 (1)〈x，x〉≥0,而〈x，x〉=0x=0; (2)〈x，y〉=〈y，x〉。 则称〈·，·〉为H上的内积。 设H是Banach空间且具有内积〈·，·〉,如果H上的范数·由此内积导出，即对任意的x∈H,有x=〈x，x〉,则称H为Hilbert空间。 设H为Hilbert空间，如果x、y∈H满足〈x，y〉=0,称x与y正交。如果ei，i∈Λ是H中一族相互正交的单位向量，且其线性张成在H中稠密，则称它为H的一个标准正交基。此时，任意x∈H可唯一表示为x=∑i∈Λ〈x，ei〉ei。可分Hilbert空间存在可数标准正交基。 定义1.5设H是Hilbert空间，其内积为〈·，·〉。令A∈BH,则存在A*∈BH使得对任意x、y∈H都有〈Ax，y〉=〈x，Ay〉成立，称A*为A的共轭算子或伴随算子。 (1)如果A*=A,称A是自伴算子； (2)如果A自伴且对每个x∈H,有〈Ax，x〉≥0,称A是正算子； (3)如果A是正算子且A是2阶幂等算子，称A是投影； (4)如果AA*=A*A,称A是正规算子； (5)如果AA*=A*A=I,则称A是酉算子；如果A*A=I,则称A是等距算子；如果A*A和AA*都是投影算子，则称A是部分等距算子，而A*A和AA*分别称为A的始投影和终投影。 命题1.1\[1，2\]设H是Hilbert空间且T、S∈BH，则下列陈述等价： (1)ran(T)ran(S); (2)存在算子R∈BH使得T=SR; (3)存在正数δ使得TT*≤δSS*。 定义1.6设H是Hilbert空间，令ei，i∈Λ是H中一组标准正交基，A∈BH,对于1≤p<+∞,定义 Tr(A)=∑i∈Λ〈Aei,ei〉 Ap=TrAp1p TrA称为算子A的迹。易验证，迹与标准正交基的选取无关。如果Ap<+∞,称A是Schattenp类算子。而当p=1时，称A为迹类算子;当p=2时，称A为HilbertSchmidt算子。 H上全体有限秩算子、全体紧算子和全体Schattenp类算子分别记为F(H）、KH(=C∞(H))和CpH。 定义1.7若线性映射φ∶BH→BK满足对任意正算子A∈BH,φ(A)是正算子，则称φ是正线性映射（简称正映射）；如果φk=φⅡk:BHΜk→BKΜk是正的，则称φ是k正的，这里Mk表示k阶复矩阵代数，φk(［Aij］k×k)=［φ(Aij)］k×k,Aij∈BH;若对任意正整数k,φ都是正的，则称φ是完全正映射。 本书的研究具有一定的前沿性和创新性。