概率论与数理统计学习指导

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**章 概率论基础
　　一、基本内容
　　1.随机试验与样本空间
　　具有下列三个特性的试验称为随机试验:
　　(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;
　　(2)每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果;
　　(3)每次试验都会出现上述可能结果中的某一个，但事先不能确定哪一个结果会出现.
　　试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，用表示，每一个结果称为样本空间中的样本点，记作.
　　2.随机事件
　　样本空间的任一子集称为随机事件(简称事件).通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)看作特殊的随机事件.
　　3.事件的关系及运算
　　(1)事件的包含:若事件发生必然导致事件发生，则称事件包含事件，记作(或).
　　(2)事件的相等:若两事件与相互包含，即且，则称事件与事件相等，记作.
　　(3)和事件:事件与事件至少发生一个的事件称为与的和事件，记作;个事件中至少有一个发生的事件称为的和，记作.
　　(4)积事件:事件与事件同时发生的事件称为事件与事件的积事件，记作(简记为);个事件同时发生的事件称为的积事件，记作.
　　(5)互不相容事件:若事件和事件不能同时发生，即，那么称事件与事件互不相容(或互斥);若个事件中任意两个事件不能同时发生，即，则称事件两两互不相容.
　　(6)差事件:若事件发生且事件不发生，则称这个事件为事件与事件的差事件，记作(或或).
　　(7)对立事件:若事件和事件满足，则称事件与事件是对立的.事件的对立事件(或逆事件)记作.
　　(8)事件的运算律.
　　①交换律:对任意两个事件和有
　　②结合律:对任意事件有
　　③分配律:对任意事件有
　　④对偶律(德 摩根(DeMorgan)律):对任意事件和事件有.
　　4.频率的定义
　　若随机事件在次重复试验中发生了次，则称为在这次试验中发生的频数，称为在这次试验中发生的频率.
　　5.概率的统计定义
　　在相同的条件下，重复进行次试验，如果随着试验次数的增大，事件出现的频率稳定地在某一确定的常数附近摆动，则称常数为事件发生的概率.记为，这个定义称为概率的统计定义.
　　6.概率的古典定义
　　具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型:
　　(1)试验的样本空间是个有限集，不妨记作;
　　(2)在每次试验中，每个样本点发生的概率相同，即.
　　在古典概型中，规定事件的概率为，表示中基本事件的个数;表示中基本事件的个数.
　　7.概率的几何定义
　　如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为，表示的度量(长度、面积或体积);表示的度量(长度、面积或体积).
　　8.概率的公理化定义
　　设随机试验的样本空间为，随机事件是的子集，是实值函数，若满足下列三条公理:
　　公理1(非负性)对于任一随机事件，有;
　　公理2(规范性)对于必然事件，有;
　　公理3(可列可加性)对于两两互不相容的事件，有，则称为随机事件的概率.
　　9.概率的性质
　　性质1.
　　性质2(有限可加性)若两两互不相容，则.
　　性质3若为的对立事件，则.
　　性质4(差公式)对任意事件，有.
　　推论若，则，且.
　　性质5对任意两个事件有.
　　10.条件概率
　　设为随机试验的两个随机事件，为样本空间，如果，称为在事件发生的条件下发生的条件概率.
　　11.乘法公式
　　对于任意两个事件与，有.
　　12.事件的独立性
　　设为两个事件，如果，则称事件与事件相互独立.
　　一般地，设是个事件，若对于其中任意个事件，都有，则称事件相互独立.这里实际上包含了个等式.
　　13.全概率公式
　　设是随机试验的样本空间，为中的一个事件，为的一个划分，且，则.
　　14.贝叶斯公式
　　设是随机试验的样本空间，为的一个划分，且，为中的任一事件，则
　　15.伯努利概型与二项概率公式
　　设为试验的事件，，在相同的条件下，重复地做次试验，且各试验及其结果都是相互独立的，如果每次试验都只有两个可能结果，称这一类试验为重伯努利试验，或重伯努利概型.
　　设在一次试验中事件出现的概率为，在重伯努利试验中，事件恰好出现次的概率为，这个公式称为二项概率公式.
　　二、基本要求
　　(1)理解样本空间、随机事件、概率、条件概率、事件的独立性、独立重复试验等基本概念.
　　(2)掌握事件的关系及计算、概率的基本性质;会计算古典概率和几何概率;熟练掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式;会用事件独立性进行概率计算;会用重复独立试验计算有关事件的概率.
　　三、扩展例题
　　例1 (2018年考研真题)设随机事件与相互独立，与相互独立，若，则().
　　解，其中.
　　所以，即，解得.
　　例2 (2019年考研真题)设为随机事件，则的充分必要条件为().
　　A.; B.;
　　C.;D
　　解，故选C.A选项是互斥，B选项是独立，D选项推不出来.
　　例3 (2017年考研真题)设为随机事件，若，，则的充分必要条件为().
　　A.;B.;
　　C.;D
　　解题设条件等价于，
　　即.
　　总之，的充分必要条件为.
　　由也可得，故选A.
　　例4 (2016年考研真题)设为随机事件，，，若，则下面正确的是().
　　A.; B.;
　　C.; D
　　解由题设条件可得，
　　故选A.
　　例5 (2015年考研真题)设为随机事件，则().
　　A.;B.;
　　C.;D
　　解由于，故.又根据加法公式，所以，即，即，故选C.
　　四、习题详解
　　习题1-1
　　1.写出下列随机试验的样本空间:
　　(1)抛三枚硬币，观察出现的正反面情况;
　　(2)抛三颗骰子，观察出现的点数;
　　(3)连续抛一枚硬币，直到出现正面为止;
　　(4)在某十字路口，观察一小时内通过的机动车辆数;
　　(5)观察某城市一天内的用电量.
　　解 (1)，共含有个样本点，其中0表示反面，1表示正面.
　　(2)，含有个样本点.
　　(3)，含有可列个样本点，其中0表示反面，1表示正面.