写给孩子的趣味代数学

作者简介

雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼（1882—1942） 出生于俄国格罗德省别洛斯托克市，是享誉世界的科普作家、趣味科学的奠基人。17岁时，他开始在报刊上发表作品。1909年大学毕业以后，他开始全力从事科普写作和教育工作。别莱利曼一生共创作了105部作品，其中大部分是趣味科学读物，并且很多作品被翻译成数十种语言，对青少年的科学学习产生了深远影响，对世界科普事业的发展做出了卓越贡献。

内容简介

Chapter 3 算术的帮手 对于算术来说, 仅仅依靠本身的方法来论证某些判断的正确性, 往往不是特别严密。 在这种情况下, 就不得不借助代数的概括性方法了。 比如, 很多简捷的算法、 某些数的有趣特性以及判别某些数字是否能被整除的方法, 等等, 这些都属于用代数方法来证明算术命题的例子。 这一章我们要讲的就是这类问题。 3. 1 简便的速乘法 善于计算的人经常会借助一些简单的代数变换来减少他们的计算量。比如: 9882 我们就可以用这样的方法来计算: 9882 = (988 + 12) × (988 - 12) + 122 = 1 000 × 976 + 144 = 976 144 很容易就能看出, 这里利用的是下面的代数变换: a2 = a2 - b2 + b2 = ( a + b)( a - b) + b2 事实上, 我们还可以用上面的公式来进行其他类似的运算。 比如: 272 = (27 + 3)(27 - 3) + 32 = 729 632 = 66 × 60 + 32 = 3 969 542 = 58 × 50 + 42 = 2 916 482 = 50 × 46 + 22 = 2 304 372 = 40 × 34 + 32 = 1 369 182 = 20 × 16 + 22 = 324 再来看另外一个例子, 986 × 997 的乘积可以通过这样的方式来计算: 986 × 997 = (986 - 3) × 1 000 + 3 × 14 = 983 042 这个方法所依据的又是什么呢? 把乘数写成这样的形式: (1 000 - 14) × (1 000 - 3) 然后, 把这两个二项式按代数的规则乘出来: 1 000 × 1 000 - 1 000 × 14 - 1 000 × 3 + 14 × 3 接着, 再作如下变换: 1 000 × (1 000 - 14) - 1 000 × 3 + 14 × 3 = 1 000 × 986 - 1 000 × 3 + 14 × 3 = 1 000 × (986 - 3) + 14 × 3 所得到的最后一行就是刚才我们使用的计算方法。 符合这样的条件的两位数的乘积的算法也非常有意思。 这两个三位数的十位和百位上的数都相同, 而个位上的数的和为 10。 例如: 783 × 787 对于这样的两个三位数, 它们的乘积可以这样计算: 78 × 79 = 6 162 3 × 7 = 21 乘积就是: 616 221。 这种算法的依据十分简单, 看了下面的变化过程你就明白了: (780 + 3) × (780 + 7) = 780 × 780 + 780 × 3 + 780 × 7 + 3 × 7 = 780 × 780 + 780 × 10 + 3 × 7 = 780 × (780 + 10) + 3 × 7 = 780 × 790 + 21 = 616 200 + 21 对于这一类乘法, 我们还有一种更简单的算法: 783 × 787 = (785 - 2) × (785 + 2) = 7852 - 22 = 616 225 - 4 = 616 221 在这个例子里, 我们必须求出 785 的平方。 对于末位数是 5 的数的平方, 我们可以用下面的方法去求: 352 : 3 × 4 = 12, 答案是: 1 225 652 : 6 × 7 = 42, 答案是: 4 225 752 : 7 × 8 = 56, 答案是: 5 625 计算的规则是这样的: 先把这个数的十位数乘以比它大 1 的数, 然后再在得出的这个乘积后面写上 25。 这个方法是这样的, 如果这个数的十位数是 a, 那么全数就可以写成: 10a + 5。 这个数字的平方就可以表示为: (10a + 5) 2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a( a + 1) + 25 代数式 a( a + 1) 就是十位数和它后面的那个数字的乘积。 将这个乘积乘以 100 再加上 25 和在乘积后面直接写上 25 所得的结果是一样的。 用同样的方法还能计算后面带有 1 的分数的平方。 例如: ?3 1 ?2 = 3. 52 = 12. 25 = 12 1 2 4 ?7 1 ?2 = 7. 52 = 56. 25 = 56 1 2 4 ?8 1 ?2 = 8. 52 = 72. 25 = 72 1 2 4 … 3. 2 独特的数字 1， 5， 6 很多人都注意到, 几个末位同是 1 或同是 5 的数连乘之后, 所得的乘积的末位还是 1 或 5。 对于数字 1 和 5 的这种有意思的性质, 我们都可以用代数的方法来证明。 其实, 末位数是 6 的数字也有这样的性质。 末位是 6 的数无论连乘多少次, 所得的结果末位数都依然是 6。 例如: 462 = 2 116; 463 = 97 336 下面我们就来分析一下末位是 6 的数字的性质。 末位是 6 的数字可以表示成下面的形式: 10a + 6, 10b + 6 其中, a 和 b 可以取任何正整数。 这样的两个数的乘积可以表示为: (10a + 6)(10b + 6) = 100ab + 60b + 60a + 36 = 10(10ab + 6b + 6a) + 30 + 6 = 10(10ab + 6b + 6a + 3) + 6 可见, 这两个数的乘积是由 10 的倍数和 6 组成的, 所以乘积的末位数当然是 6 了。 我们也可以用同样的方法来证明末位是 1 或 5 的数。据此, 我们可以得出下面的结论: 3862 567 的末位数是 6 815723 的末位数是 5 4911 732 的末位数是 1 …… 3. 3 数字 25 和 76 除了 1、 5、 6 具有我们上面所说的神奇性质之外, 有些两位数也有着相似的性质。 25 和 76 就是具有这样性质的两位数。 任意几个最末尾同是 25 或同是 76 的数相乘, 所得的乘积末尾还是原来的数。 现在我们以 76 为例来证明一下。 最末尾是 76 的数的一般表示方法为: 100a + 76, 100b + 76 a 和 b 都可以取任意正整数。 这样的两个数相乘, 乘积为: (100a + 76)(100b + 76) = 10 000ab + 7 600b + 7 600a + 5 776 = 10 000ab + 7 600b + 7 600a + 5 700 + 76 = 100(100ab + 76b + 76a + 57) + 76 由上面最后一行的式子可以看出, 乘积的末尾还是 76。 依此类推, 凡是末尾是 76 的数, 它的任意次方的末尾依然是 76: 3762 = 141 376 , 5763 = 191 102 976, … 3. 4 神奇的无限长“数” 还有更多位数字组成的长串数尾, 在经过连乘之后, 得到的乘积的数尾与原来数字的数尾一样。 我们已经知道两位数中, 具有这种性质的是 25 和 76。 为了找出具有这种性质的三位数, 我们可以在 25 或 76 前面再写上一位相应的数字。 下面, 我们先来讨论一下在 76 前面加上一个什么样的数所得的三位数能够具有这种性质。 设前面应该加的那个数字为 k ( k 为任意正整数), 得 到的三位数就可以表示为: 100k + 76 那么, 末尾是这个三位数的数就可以表示为: 1 000a + 100k + 76, 1 000b + 100k + 76 其中, a, b 可以取任意正整数。将这两个数相乘, 可以得出: (1 000a + 100k + 76)(1 000b + 100k + 76) = 1 000 000ab + 100 000ak + 100 000bk + 76 000a + 76 000b + 10 000k2 + 15 200k + 5 776 上面的式子, 除了最后两项之外, 其他各项都能被 1 000 整除。 只要最后两项的和 (15 200k + 5 776) 与 (100k + 76) 的差能被 1 000 整除, 就可以证明所得乘积的数尾是 (100k + 76)。 由于 15 200k + 5 776 - (100k + 76) = 15 100k + 5 700 = 15 000k + 5 000 + 100( k + 7) 所以, 只有当 k 取 3 的时候, 所得乘积的数尾才能与原来的数的数尾相同。 所以, 376 就是我们所要求的三位数。 而 376 的任意次方的尾数也一定是 376。 例如: 3762 = 141 376 同理, 如果要找出具有这种性质的四位数, 那么我们就应该在 376 前面再加上一位数, 设所加的这个数为 l, 我们就可以把原来的问题转化成这样: 求 l 为多少的时候, (10 000a + 1 000l + 376)(10 000b + 10 000l + 376) 所得的结果的尾数会是 (1 000l + 376)。 现在我们把所得的乘积中能被 10 000整除的各项都舍去, 得到的式子就是: 752 000l + 141 376 只要 (752 000l + 141 376 ) 与 ( 1 000l + 376 ) 相减, 所得的差能被 10 000整除, 就证明乘积的尾数是 (1 000l + 376)。 由于 752 000l + 141 376 - (1 000l + 376) = 751 000l + 141 000 = (750 000l + 140 000) + 1 000( l + 1) 观察上面最后一行的多项式可以看出, 只有当 l = 9 时, 所得的差才能被 10 000 整除。 所以, 符合条件的四位数就是 9 376。 继续像前面那样进行推理, 我们会发现, 符合条件的五位数为 09 376, 符合条件的六位数为 109 376, 符合 条件的七位数为 7 109 376, …… 这样, 一位一位地增加可以无限制地进行下去。 这么做的结果是, 我们将会得到一个无限多位的 “ 数”: …7 109 376 这样的数都可以按通常的规则进行加法和乘法的运算, 因为这种数字是从右向左写的, 而加法和乘法的竖式也是从右向左进行的。 而且在两个这样的数的和或者乘积中, 还可以逐个地减去任意多的数字。 更为有趣的是, 我们上面所说的那个无限长的 “ 数”, 能够满足下面的 方程: x2 = x 这看起来是不可能的。 但是事实上, 由于这个数的尾数是 76, 所以它的平方的尾数也会是 76。 由于同样的原因, 这个数的平方的尾数也可以是376, 或者是 9 376, 等等。 换句话说, 也就是当 x = …7 109 376 时, 我们可以从它的平方中逐位去掉一些数字, 这时候, 我们就能得到一个和 x 相同的数字, 这就是 x2 = x 成立的原因。 前面我们对末尾是 76 的数①进行了分析。 用类似的方法讨论末尾是 5 的数, 我们能得到下面一组数字: 5, 25, 625, 0 625, 90 625, 890 625, 2 890 625, 等等。 同样我们还 能写出一个可以满足方程 x2 = x 的无限长的 “ 数” …2 890 625 而且, 这个数还恰好 “ 等于” (((52 ) 2 ) 2 ) 2. . . 这个结果非常有意思, 如果我们用代数语言把它表示出来, 可以这样说: 对于方程 x2 = x 来说, 除 x = 0 和 x = 1 之外, 还有两个 “ 无限” 的解, 也就是: x = …7 109 376 和 x = …2 890 625 除此之外, 在十进制中就没有其他的解了。 ① 另外, 两位数 76 也可以借助于上面的推理方法求得: 只要求出在 6 前面加一个什么数可以得到具有我们所说的性质的两位数就可以。 所以, “ 数” …7 109 376 也可以当作是在 6 前面一个一个加上相应的数得出。 3. 5 一个关于补差的古老题目 [ 题] 在很久以前, 有这样一个故事。 两个贩卖家畜的人把他们共有的一群牛卖了, 每头牛所卖的钱恰好是这群牛的总头数。 接着, 他们用卖牛所得的钱又买回了一群羊, 每只羊的价格是 10 元, 最后他们用钱数的零头又换回了一只小羊。 分羊的时候, 两个人分得的羊的数量一样多, 只是第二个人得到了那只小羊。 为了公平起见, 两人商议后决定, 让第一个人找补他一点钱。 假设找补的钱是整数, 那么第一个人应该找补给第二个人多少钱? [ 解] 这道题不能直接转换成代数语言来解答, 因为根据所给出的条 件, 我们没有办法列出方程来。 为了解出这道题, 我们只好采用一种特殊的途径———自由的数学思考。 虽然不能把题目转换成代数语言, 但是在解题的过程中, 代数还是起了非常重要的作用。 根据题意, 每头牛的价格与牛的总数相等, 也就是以每头 n 元的价格卖掉了 n 头牛。 所以, 两个人卖牛所得的钱的总数应该是一个完全平方数, 即n2 。 而由于其中一个人分得的羊多了一头, 所以用卖牛的钱所买的羊的数量应该是个奇数。 这就可以推断出 n2 这个数的十位数也是一个奇数。 对于一个十位数是奇数的完全平方数来说, 它的个位数只有一种可能, 就是 6。 我们设一个十位数是 a, 个位数是 b 的整数, 那么它的平方就是 (10a + b) 2 。 (10a + b) 2 = 100a2 + 20ab + b2 = (10a2 + 2ab) × 10 + b2 对于这样一个数字来说, 它的十位数有一部分是 (10a2 + 2ab), 还有一部分包含在 b2 里。 由于 (10a2 + 2ab) 是一个偶数, 所以只有当包含在 b2 中的十位数是奇数时, (10a + b) 2 里所含的十位数才会是奇数。 由于 b2 是个位上的数的平方, 所以 b2 可以取的值有以下几种可能: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 在这些可能取的值中, 只有 16 和 36 的十位数是奇数。 而且它们的个位数都是 6, 所以可以说, 对于数字 (100a2 + 2ab + b2 ) 来说, 只有当个位数字是 6 时, 它的十位数才会是奇数。 由此我们可以得出, 每只小羊的价格应该是 6 元。 现在问题就很容易解决了, 由于大羊的价格是每只 10 元, 所以, 分得小羊的这个人比另一个人少分了 4 元。 为了公平, 分得大羊的人只需要补给他的同伴 2 元钱就可以了。 因此这个问题的答案就是 2 元。 这是一份知识满满、趣味多多的珍贵礼物，能够激发孩子对科学的好奇心和探索欲，培养孩子的学习能力、思考能力和想象力，告诉你如何帮助孩子爱上代数学！ ★阅读本书，你将破解关于代数学的诸多奥秘： 三个3怎样排列所得的数字最大？ 几个乘积一定的数在什么情况下和最小？ 怎样判断一个数能否被另一个数整除？ “伟大的费马猜想”如何证明？ 怎样用三个2表示出任意数？ ……