弹性转子动力学

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第1章 弹性体的动力学理论基础
　　结构动力学分析理论一般可以分为集中质量与弹性体两个部分。虽然所有结构都具有质量，但在计算精度允许的情况下进行简化处理时，可以将结构看成是由具有有限数量的点质量的刚性体和无质量的变形体组成的，即为集中质量分析理论。弹性体动力学理论则将结构的质量和刚度均视为连续分布，具有无穷多质量点组成，其分析结果较集中质量法省去了简化过程，因此具有更高的计算准确度，但分析过程更为复杂与困难。本章将介绍弹性体分析的基础性理论，为后续章节中的分析计算提供理论基础。
　　1.1 弹性体的动力学方程
　　弹性体动力学分析可以按照微元体的动态平衡建立基本微分方程，但按照能量观点建立的变分方程可更广泛地应用于梁、板、壳等各类结构动力学分析，该方法涉及动力学变分原理，同时还需要考虑动能、变形能及外力功等概念。
　　1.1.1 弹性体的基本动力学方程
　　利用直角坐标系将弹性体内任一点的位移投影到x、y、z三个轴上，位移分量通常用u、v、w表示，沿坐标轴正向为正，反向为负。在外载荷的作用下，弹性体将产生应力与应变，六个应变分量分别表示如下：沿x、y、z方向的正应变为、、；y与z、z与x、x与y两方向的剪应变分别为、、。正应变以伸长为正，缩短为负，剪应变以直角变小为正，变大为负。在直角坐标系中，取出正六面弹性微元体，它的各个面与坐标轴垂直，每个面存在一个正应力和两个切应力，垂直于x、y、z轴的正应力分别表示为、、，切应力分别为、、、、、，下标中前一个坐标表示作用面垂直于该坐标轴，后一个坐标表示作用方向沿着该坐标轴，根据微元体的力矩平衡可得出
　　(1.1-1)
　　通过几何学推导，可以建立形变分量与位移分量。如果忽略高阶微量，那么对于微小形变和位移可列出六个几何方程：
　　(1.1-2)
　　对于完全弹性的各向同性体，形变分量与应力分量之间的关系有下列六个物理方程，即胡克定律：
　　(1.1-3)
　　式中，E为弹性模量；G为剪切模量；为泊松比，这三者的关系为
　　(1.1-4)
　　对于一般匀质的各向同性体，这些弹性常数均不是坐标、时间和方向的函数。由式(1.1-3)可解得应变分量表示的应力分量表达式：
　　(1.1-5)
　　式中，e为体积应变，其表达式为
　　(1.1-6)
　　在直角坐标系中，根据取出的正六面弹性微元体的受力平衡，计入体积力沿三个坐标的分量Fx、Fy、Fz及运动惯性力，可以得到运动微分方程：
　　(1.1-7)
　　式中，为弹性体单位体积的密度。将几何方程式(1.1-2)代入物理方程式(1.1-5)，然后再代入运动微分方程式(1.1-7)，就可以得到弹性体动力学的基本方程。
　　1.1.2 弹性体系统的变分原理
　　弹性体因受力发生形变，在内部产生相应的应变和应力，具有一定的弹性形变势能，其单位体积的形变势能或称比能为
　　(1.1-8)
　　它与六个应变分量和六个应力分量有关。将其代入物理方程式(1.1-5)可以单独用应变分量表示为
　　(1.1-9)
　　若代入物理方程式(1.1-3)，可单独用应力分量表示为
　　(1.1-10)
　　将几何方程式(1.1-2)代入式(1.1-9)中，并在整个弹性体内积分，可得弹性体形变势能或变形能的一般表达式
　　(1.1-11)
　　式(1.1-11)中，位移分量u、v、w均是时间的函数，因此变形能也为时间的函数。
　　弹性体运动过程中各质量点具有速度，将产生动能T，对于静止的弹性体动能可以表示为
　　(1.1-12)
　　对于弹性转子，动能将含有由旋转引起的科氏力与陀螺效应等表达式，这在第3～5章中将具体介绍。在弹性体动力学中，可采用与弹性力学的最小势能原理相对应的位移变分原理获得系统的运动微分方程，即哈密顿(Hamilton)原理。它指出从到状态过程中，满足位移边界条件的所有可能的几何运动状态中真实的运动状态满足如下表达式：
　　(1.1-13)
　　式中，、、为体积力分量；、、为在给定力边界条件面s上作用的面载荷分量。将式(1.1-13)经变分运算及分部积分可得到
　　(1.1-14)
　　以式(1.1-12)所示的动能为例，代入式(1.1-13)中，经变分运算可以得到下列方程：
　　(1.1-15)
　　式中，l、m、n为弹性微元体截面外法线N的方向余弦，其具有如下关系式：
　　(1.1-16)
　　由于几何可能位移、、的任意性，必然有其前面的每个表达式为零才能使式(1.1-14)成立。于是可以得到由式、、确定的运动微分方程和由式、、确定的力的边界条件，显然这是运动状态的真正解，也就是说式(1.1-14)是和运动方程及边界条件等价的。因此，满足位移边界条件的位移解可以通过变分方程式(1.1-14)来求取真正解，而不需要1.1.1节中的各基本方程。利用变分原理求解弹性体动力学问题较为简单，也是广泛采用的方法。
　　1.2 弹性系统的应变能与动能
　　能量原理在弹性体动力学中有着重要的应用，它从功和能的角度出发，得到了一系列很重要的定理，对于建立运动微分方程，尤其是求解这些微分方程时，应用这些定理，可以获得较大的方便，下面介绍弹性体涉及的能量方程。
　　1.2.1 应变能
　　当弹性体受到外力作用时，将发生体积或形状的改变，弹性系统内将产生应变能，这类应变能是存储在弹性系统内部的能量，它属于弹性体的势能。应变能是状态函数，其大小只与弹性体的变形状态有关，而与如何达到这个状态没有关系。弹性体单位体积的应变能表达式如式(1.1-8)所示。下面介绍常见的多种类型的弹性体的应变能计算结果。
　　1.受拉直杆的应变能
　　直杆轴力为N，截面积为A，杆长为L，材料的弹性模量为E。弹性直杆的轴力与应力、应变及位移之间的关系为
　　(1.2-1)
　　将式(1.2-1)代入式(1.1-8)，并考虑物理方程式(1.1-3)，可以得到
　　(1.2-2)
　　因此全杆长的应变能可以表示为
　　(1.2-3)
　　2.扭转变形下直杆的应变能
　　参照直杆拉伸的应变能和应变余能，可得到直杆扭转的应变能为
　　(1.2-4)
　　式中，为直杆的扭转角；G为材料的剪切弹性模量；Jd为扭转转动惯量。
　　3.梁的应变能
　　设梁的长度为L，截面惯性矩为J，材料的弹性模量为E。若仅考虑弯曲变形，则对于梁的某一微元，根据材料力学知识可知应变量为
　　(1.2-5)
　　式中，为挠曲角；r为dx微段上中性层变形的曲率半径；yr为截面上任一点到中性层的距离。设梁的挠度曲线为y(x)，则式(1.2-5)可用y(x)表示如下：
　　(1.2-6)
　　在弹性体动力学中，挠度曲线y也是时间t的函数，需要将式(1.2-6)单变量导数的符号改为偏导数符号：
　　(1.2-7)
　　由物理方程可知应力的表达式如下：
　　(1.2-8)
　　将式(1.2-7)和式(1.2-8)代入应变比能的表达式(1.1-8)中，可以得到
　　(1.2-9)
　　式(1.2-9)经过积分可以得到梁弯曲的应变能为
　　(1.2-10)
　　若仅考虑梁的剪切变形，参照式(1.2-9)可得到其应变能的表达式为
　　(1.2-11)
　　式中，为剪切变形曲线；G为材料的剪切弹性模量；A为载荷面积；为剪切截面系数，其数值随截面形式的变化而改变。对于同时考虑轴向变形、弯曲变形、剪切变形及扭转变形的一根梁来说，其总应变能为
　　(1.2-12)