现代非参数统计

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第1章 预备知识
　　本章收集一些后面常用的随机变量(序列)的不等式和随机变量阵列的中心极限定理.
　　1.1 随机变量序列的收敛性
　　1.1.1 收敛的定义
　　设 {Xn， n≥1} 为随机变量序列， X为一个随机变量. 如果， 都有
　　则称Xn依概率收敛于X， 记为， 或记为Xn-X = op(1).
　　如果， 存在M > 0， 使得
　　则称Xn依概率有界， 记为Xn = Op(1).
　　如果
　　则称Xn以概率1收敛于X， 或称Xn几乎处处收敛于X， 记为， 或记为， 或记为.
　　几乎处处收敛的定义也可以等价描述为， 存在N > 0， 使得当n > N时有
　　则称Xn几乎处处收敛于X.
　　如果存在M > 0使得
　　则称Xn几乎处处有界， 记为
　　设r > 0， 如果
　　则称Xn的r阶矩收敛于X， 记为.当r = 2时， 称为均方收敛.
　　如果， 有
　　则称Xn完全收敛于X， 记为.
　　设Fn(x)为Xn的分布函数， F(x)为X的分布函数. 如果对F(x)的任意连续点x， 均有
　　则称Xn依分布收敛于X， 记为.
　　若实数数列dn → ∞， 且在某种收敛意义下， 则称dn为Xn在某种收敛意义下收敛于X的收敛速度.
　　1.1.2 收敛的性质
　　各种收敛的相互关系为
　　设a为常数， 则
　　下面的结论给出了部分关系的证明.
　　定理 1.1.1 的充要条件是: 对于任意的ε > 0， 有
　　证明 由a.s.收敛的定义， 知
　　这等价于
　　由概率的连续性， 上式等价于
　　证毕.
　　由于
　　所以结合定理 1.1.1， 有
　　设为一串随机事件序列， 记
　　Borel-Cantelli引理 设为一串随机事件序列.
　　(i)若， 则 P{An， i.o.} = 0.
　　(ii)若{An， n≥1} 为独立随机事件序列， 且， 则P{An， i.o.}=1.
　　证明 (i) 由于