2023国家教师资格考试专用教材·数学学科知识与教学能力（高级中学）

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第一部分 数学学科知识 数字表示本部分各章内容在2012—2022年考试中考查的总次数 第一章中学数学基础知识 本章知识核心考点常考题型十年考频 集合与命题 集合的基本运算 命题间的关系 充分条件与必要条件单选3 函数 函数的概念与性质 基本初等函数单选6 不等式与数列 常用不等式 等差数列与等比数列简答6 平面解析几何 向量的运算及坐标表示 平面直线方程 圆锥曲线单选、简答、解答9 计数原理与二项式定理 排列与组合 二项式定理单选、简答3 统计 总体与样本 用样本估计总体单选、简答2 数学史人物、主要成就单选7 注：表格中的数字代表本章各节内容在2012-2022年考试中考查的总次数，后续各章同。 第一节 集合与命题 一、集合的概念及表示方法 1集合的概念 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合，简称为集。我们通常用大写的拉丁字母A，B，C，…来表示集合，用小写的拉丁字母a，b，c，…来表示集合中的元素，如B={a，b，c}。 给定一个集合，它的元素必须是确定的，即对于给定的集合，一个元素在或不在这个集合是确定的。如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA。此外，给定集合中的元素还必须是互不相同的。 数学中常用的集合及其记法：表示空集（不含任何元素的集合），N表示自然数集，N*和N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，C表示复数集。 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图，如图1-1-1。韦恩图可以直观地呈现出集合间存在的一些关系。 图1-1-1 2集合的表示方法 自然语言法：用自然语言的形式来描述集合。如A={小于5的所有自然数}。 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来。如A={0，1，2，3，4}。 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。如A={x∈Nx<5}。 二、集合间的基本关系 1相等关系 如果构成两个集合的元素是一样的，即集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合B中的任意一个元素都是集合A的元素，那么称集合A与集合B相等，记作A=B。 2包含关系 对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）。 根据集合相等的定义可知，A=B  AB，且BA。 子集的性质：（1）AA；（2）若AB，BC，则AC。 对于两个集合A，B，如果集合AB，但存在x∈B，且xA，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。 对于任意一个集合A（可以是空集），都有A（因为不存在元素x满足x∈，且xA）；对于任意一个非空集合B，都有B。 如果集合A有n（n∈N*）个元素，那么它有2n个子集，2n-1个真子集。 三、集合的基本运算★★ 表1-1-1集合的基本运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素组成的集合叫作A，B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={xx∈A，且x∈B}由所有属于A或属于B的元素组成的集合叫作A，B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={xx∈A，或x∈B}设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作集合A相对于集合U的补集，记作 ？瘙 綂 UA，即 ？瘙 綂 UA={xx∈U，且xA} 韦恩图示 性质A∩A=A A∩= A∩B=B∩A A∩BA A∩BBA∪A=A A∪=A A∪B=B∪A A∪BA A∪BB（ ？瘙 綂 UA）∩（ ？瘙 綂 UB）= ？瘙 綂 U（A∪B） （ ？瘙 綂 UA）∪（ ？瘙 綂 UB）= ？瘙 綂 U（A∩B） A∪（ ？瘙 綂 UA）=U A∩（ ？瘙 綂 UA）= 四、命题的定义与四种命题 1命题的定义 一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。我们常用小写字母p，q，r，…来表示命题。 2四种命题 对于大部分命题，我们都可以将其改写成“若m，则n”的形式，如“垂直于同一条直线的两个平面平行”就可以改写成“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”。我们把命题“若m，则n”中的m叫作命题的条件，n叫作命题的结论。 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆命题。 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫作互否命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题。 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么称这两个命题互为逆否命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题。 综上，设“若m，则n”是原命题，那么 “若n，则m”是原命题的逆命题； “若m，则n”是原命题的否命题； “若n，则m”是原命题的逆否命题。 3四种命题间的相互关系★★ 一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的关系，如图1-1-2所示。 图1-1-2 两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。 4充分条件与必要条件★★ 一般地，“若m，则n”是真命题，是指由m通过推理可以得出n。此时，我们称由m可推出n，记作 m  n， 并说m是n的充分条件，n是m的必要条件。 如果“若m，则n”是假命题，那么称由m推不出n，记作 mn， 并说m不是n的充分条件，n不是m的必要条件。 如果既有m  n，又有n  m，那么称m等价于n，记作 m  n， 并说m是n的充分必要条件，简称充要条件。 显然，如果m是n的充要条件，那么n也是m的充要条件。概括地说，如果m  n，那么m与n互为充要条件。 五、逻辑联结词 1“且”“或”“非” 用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作 p∧q， 读作“p且q”。如命题p：“3是质数”，命题q：“3是奇数”，用“且”联结构成的新命题p∧q：“3是质数且是奇数”。 用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作 p∨q， 读作“p或q”。如命题p：“△ABC是锐角三角形”，命题q：“△ABC是钝角三角形”，用“或”联结构成的新命题p∨q：“△ABC是锐角三角形或钝角三角形”。 对命题p全盘否定，得到一个新的命题，记作 p， 读作“非p”或“p的否定”。如命题p：“12是3的倍数”的否定p：“12不是3的倍数”。 2 p∧q，p∨q，p的真假 对于p∧q，p∨q，p的真假，规定如下。 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题。 当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q都是假命题时，p∨q是假命题。 当p是真命题时，p是假命题；当p是假命题时，p是真命题。 六、全称量词与存在量词 1全称量词与存在量词的定义 （1）全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫作全称量词命题。全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 x∈M，p（x）。 注：这里的p（x）是含有变量x的语句，M是变量x的取值范围。 （2）存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 x∈M，p（x）。 2全称量词命题与存在量词命题的否定 一般地，对含有一个量词的命题否定，只需将量词替换（全称量词与存在量词替换），并将含有变量的语句否定。具体描述如下。 全称量词命题“x∈M，p（x）”，它的否定是“x∈M，p（x）”； 存在量词命题“x∈M，p（x）”，它的否定是“x∈M，p（x）”。 要点回顾 第二节 函数 一、函数的相关概念 1函数的定义 设A，B是两个非空数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值对应的y的值叫作函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫作函数的值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数。 2区间的概念 设a，b是两个实数，且aa，x≤b，x