数学建模简明教程--基于Python(山东省本科课程配套教材)

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第1章 数学建模概述
　　半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分.
　　数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的.数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性.自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到前沿.经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术.
　　人们越来越认识到高科技本质上是“数学技术”.2019年1月，华为技术有限公司主要创始人、总裁任正非先生曾这样回答记者：在这30年里，我们能够突破，完全是因为数学有了突破.不管是手机软件还是手机上面的应用系统，都是以数学为核心的基础，是在这个基础上面延伸发展出来的新的设备.所谓“数学技术”实质上就是数学建模，所以数学建模越来越受到重视.在高校人才培养过程中，数学建模教学已成为应用型本科数学人才培养的有效途径，对培养综合型、创新型、技能型的人才具有非常重要的意义.
　　1.1 数学模型与数学建模
　　数学模型(mathematical model)，通常是指对于现实世界中的一个特定对象，为了某一特殊目的，根据其特有的内在规律和外部条件，进行一些必要的合理的简化假设，运用适当的数学方法和工具得到的一个数学结构.这种数学结构是借助于数学符号刻画出来的某种系统的纯关系结构.从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念、各种公式和各种理论.因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这种意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学.从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这种意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内在关系的数学表达.
　　数学建模(mathematical modeling)，是指构建所研究的数学模型并进行求解，然后将求解结果应用于实际问题的全过程.具体来说，就是针对某种研究对象和研究目的，依据其内在规律，进行抽象简化和合理假设，确立某种数学结构，建立数学模型，选择适当的数学方法和工具对数学模型进行求解，然后根据求解结果去分析实际问题，以供人们作为预测、决策和控制的科学依据.
　　1.2 数学建模的发展概况
　　数学建模是在20世纪70年代由西方欧美国家大学率先开设的，我国在80年代初将数学建模引入课堂，国内第一本数学建模教材在1987年出版.经过30多年的发展，教育部已将数学建模课程列为数学类专业的必修课程，并作为选修课程鼓励高校面向理工科大学生开设.数学建模课程的开设，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，对培养大学生创新实践能力和提高综合素质，都起到了很好的作用.
　　大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说，数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10个城市的大学生数学建模联赛，共有74所院校的314队参加.
　　教育部领导及时发现，并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届，是首批列入“高校学科竞赛排行榜”的19项竞赛之一.目前全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一.本竞赛每年9月中旬的第二个周末举行，竞赛面向全国高等院校的学生，不分专业(但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生(包括高职、高专生)可以参加).
　　全国大学生数学建模竞赛旨在激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革.竞赛题目一般来源于科学与工程技术、人文与社会科学(含经济管理)等领域经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等数学基础课程.题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力.参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的 文(即答卷).竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准.
　　全国大学生数学建模竞赛的竞赛宗旨：创新意识，团队精神，重在参与，公平竞争.其指导原则：扩大受益面，保证公平性，推动教学改革，促进科学研究，增进国际交流.
　　1.3 数学建模的一般过程或步骤
　　数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性、实用性和普适性.在实际过程中用哪一种方法建模主要由我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.但是无论实际问题如何变化，数学建模的一般过程或步骤都遵循着一定的规律，了解这些过程和步骤有助于我们理解和进行数学建模.
　　(1)模型准备了解问题的实际背景、已具备的数据条件和必要的信息，明确建模的目的和要求，搜集有关的信息，弄清现实对象的主要特征，形成明确清晰的数学问题，即提出问题.然后查阅相关的研究文献，了解关于相关问题的研究状况和进展，针对所研究问题的国内外研究现状，初步确定模型的类别和可能的建模方法.
　　(2)模型假设在提出问题的基础上，根据建模问题的特征和建模目的，找出研究问题所涉及的因素，以及各因素之间的关系和应遵循的规律，抓住问题的关键和本质，忽略一些无关的和次要的因素，作出必要合理的简化假设.模型假设的目的是为了简化模型的复杂度，但过分简化的假设可能会造成模型失真，而模型因素考虑过多，则会增加建模的复杂度和计算成本，甚至可能会因为考虑因素过多而无法求解.模型假设一般遵循两个原则：
　　①简化原则抓住主要矛盾，舍弃次要因素，方便数学处理和模型建立;
　　②贴近原则贴近实际，要贴合问题的实际.
　　这两个原则是相互制约的，既要合情合理又要便于数学模型建立.因此，模型假设的合理性就十分重要，是检验模型优劣的重要依据.
　　(3)模型建立根据模型假设和问题涉及的因素，引入相关数学符号和记号，用数学语言表述其元素和元素之间的关系，形成数学关系表达式，抽象出包含变量、常量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图论模型等等.
　　(4)模型求解对抽象出的数学模型，利用相关的数学和计算机方法进行求解.综合利用数学解析方法、数值算法、数学软件和计算机编程等技巧，求出模型的解.现实中的数学模型种类繁多，一般情况下很难得到模型的解析解，大多是利用计算机辅助软件得到其数值解，即离散的近似解.因此数值分析、计算方法和软件编程等能力的培养，是数学建模求解的基本要求.
　　(5)模型分析模型分析主要包括模型的可靠性、参数的稳定性或灵敏性、结果的合理性和可操作性、假设的强健性等.对模型的求解结果进行数学上的分析，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型求解结果作出细致精当的分析，决定了所建模型能否达到更高的档次.
　　(6)模型检验把模型求解和分析的结果翻译回到现实问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性.模型检验是确定模型的正确性、有效性和可信性的研究与测试过程.一般包括两个方面：一是验证所建模型即是建模者构想中的模型;二是验证所建模型能够反映真实系统的行为特征.一般有四类情况：.1模型结构适合性检验：量纲一致性、方程式极端条件检验、模型界限是否合适 2模型行为适合性检验：参数灵敏度、结构灵敏度 3模型结构与实际系统一致性检验：外观检验、参数含义及其数值 4模型行为与实际系统一致性检验：模型行为是否能重现参考模式、模型的极端行为、极端条件下的模拟、统计学方法的检验.以上各类检验需要综合加以运用，具体情况具体分析.
　　(7)模型应用把模型求解结果应用到实际问题，给出问题的解决方案，根据实际问题的建模目的，提出相应的对策或建议等.一个好的模型给出的计算结果，应该具有一定的可操作性.
　　1.4 数学建模的方法
　　数学建模问题一般都有明确的实际背景，已知一些信息，这些信息可以是一组实测数据或模拟数据，也可以是若干参数、图形图像、视频数据等，或者仅给出一些定性描述，依据这些信息建立数学模型.建立数学模型的方法有很多，但从基本解法上可以分为以下五类.
　　(1)机理分析方法机理分析是通过对系统内部原因(机理)的分析研究，从而找出其发展变化规律的一种科学研究方法.主要是根据实际问题中的客观事实进行推理分析，确定其因果关系，用已知数据确定模型中的参数，或者直接用已知参数进行计算，从而建立数学模型.
　　(2)结构分析方法结构分析方法是通过分析和确立事物(或系统)内部各组成要素之间的关系及联系方式进而认识事物(或系统)整体特性的一种科学分析方法.首先确定一个合理的模型结构，如优化、微分、差分、图与网络等模型结构，建立数学模型，或对模型进行模拟计算.
　　(3)直观分析方法利用已知数据，作出直观图形，通过对图形、数据进行分析，建立函数关系，即经验公式，然后利用已知数据对函数表达式中的参数进行估计，从而建立函数关系模型，并利用函数表达式进行计算，同时对计算结果和观测值进行比较，以验证模型的正确性.
　　(4)数值分析方法对已知数据进行数据拟合、插值，从而建立函数关系，据此建立数学模型.常见的数值建模方法有插值方法、差分方法、曲线拟合、回归分析方法等.
　　(5)数学分析方法数学分析方法是一种运用数学方法对可以定量化的决策问题进行研究，解决决策中的数量关系的决策分析方法.从模型化角度看，每一种数学手段都包括了解决决策问题的具体数学模型，用“现成”的数学方法建立模型，如图论、微分方程、差分方程、规划论、排队论、概率统计方法等.
　　在实际建模过程中，根据问题的实际背景和已知信息选择恰当的方法，尽量使用“现成”的数学方法，各类方法之间没有绝对的界限.如果已知信息不明确或不完整，可以进行适当的补充和舍弃，也可以先建立最简单的模型，然后再一步步完善和改进.
　　1.5 数学建模竞赛论文撰写
　　撰写科研论文是科学研究的重要组成部分，是科研成果总结的重要表现形式，学习撰写科研论文也是大学生科研创新训练的重要内容之一.数学建模本质是一个完整的科研过程，数学建模论文则是建模成果的最重要的表现形式.参加大学生数学建模竞赛，竞赛论文是评价参赛成果水平的唯一依据.因此，如何将自己的参赛成果表达出来，如何撰写一篇合格的、规范的、高水平的竞赛论文显得十分重要.
　　全国大学生数学建模竞赛章程规定，竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准，所以在论文写作中，应该努力反映出这些特点.在建模竞赛短短的三天内，要完成建模的所有工作，包括论文写作，因此论文写作的时间是非常紧迫的，在赛前进行