第二大地边值问题

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第 1 章 导 论
1.1 边值问题一般陈述
　　如果一个函数 V 及其一阶和二阶导数在封闭面 S 包围的空间 ？ 内连续，并满足Laplace 方程 ？2V=0，我们称它为正则调和函数。如果 ？ 是 S 的外部空间，还要求它在无穷远处也是正则的。边值问题研究的是，给定函数 V 在边界面 S 上的函数值或法线导数(边界条件)，确定作为 Laplace 方程解的正则调和函数 V，这里 V 还必须满足边界上的额外条件。其理论基础是，如果给定整个边界面上的函数值，或者它的法线导数，这个调和函数可以唯一地确定。实践中，经常遇到以下三个边值问题。
　　第一边值问题 设 f 是 ？ 的边界 S 上的连续函数，那么第一边值问题可以这样陈述：确定 Laplace 方程2？V ？0 的解 V，它在 ？ 内正则，在 ？+S 上连续，且在 S 上取给定的值 f，即满足边界条件
SV ？f (1.1)
　　这里边界条件的解释是，当从内部或从外部逼近 S 时，V 达到值 f。第一边值问题也叫 Dirichlet 问题。
　　第二边值问题 第二边值问题是寻求 Laplace 方程的解 V，它在 ？ 内正则，它及其法向导数在 ？+S 上连续，且法向导数逼近 ？ 的边界面 S 上的给定值 f，即满足边界条件
SVfn？？？ (1.2)
　　因为对于在其内 V 是调和的任意封闭面，，所以函数值 f 这里不完全是任意的，而是必须满足条件 d 0S？？f S ？
　　第二边值问题也叫 Neumann 问题。
　　第三边值问题 第三边值问题是寻求 Laplace 方程的解 V，使其满足 S 上的边界条件 SVh V k fn？？ ？？ ？？ ？？？ ？ (1.3)
　　即在 S 上 V 及其法线导数的线性组合取给定值 f。第三边值问题叫做 Robin 问题。因为第一和第二边值问题是第三边值问题当 k=0 或 h=0 时的特殊情形，我们说第三边值问题是混合边值问题。
　　依据 ？ 是 S 的内部或外部空间，这三个问题都有内问题和外问题之说。
　　三个边值问题的解是存在的，而且是唯一的、稳定的。关于解的存在性和唯一性，