别莱利曼趣味科普经典丛书·有趣的几何

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[俄]雅科夫·别莱利曼 著 刘时飞 译

内容简介

第一章 丛林中的几何学 作为伟大的数学家，大自然不知孕育着多少几何学的秘密，而丛林中的秘密更是众多。其中，阴影测量的方法就是极为简单的一种。 用阴影长度测量高度 如今我还时时回想儿时曾令我感到惊讶的事。那件事是这样的：一位守林人为了测量一棵大树的高度，使用了一个极小的仪器。测量时，他在一棵大树附近站好，然后通过一个四方形的木板来观察大树。就在我以为他就要开始测量树的高度时，他却将那个方形的仪器装入口袋，然后轻松地告诉大家，他的工作已经完成。在我看来，他明明之前什么也没做，测量工作应该刚刚开始才是。 这种测量方法像神奇的魔术般，他既不必爬到树顶测量，也不必把大树砍倒，就能轻易地测量出大树的高度，幼小的我觉得这就是一个奇迹。后来我逐渐长大，懂得越来越多知识，才明白这其实是个极其简单的方法，而利用简易的仪器或不用其他任何工具来辅助完成测量的方法也有很多。 泰勒—— 一位古希腊的哲学家，他曾在公元前6世纪用一种最简单而又最古老的方法测量出金字塔的高度。太阳下金字塔的阴影就是他测量金字塔的“工具”。那时候的法老和祭司们都无法相信这个从北方来的异客可以测量出胡夫金字塔的高度。据说，泰勒选择了自己的影子和身高等长的时间，他认为这时测量出的金字塔的阴影长度就等于金字塔的高度。泰勒灵活地运用了等腰直角三角形的相似原理。 如果把这位古希腊哲学家解决问题的办法运用到今天，就算是现在的小学生也会感到非常简单。但我们要切记：现阶段学习到的几何知识都是古希腊以后逐渐建立的，我们现在看问题是运用了前辈们努力探究后的成果和结论。欧几里得是古希腊的数学家，他在公元前300年就写了一部很了不起的书《几何原本》。2000多年过去后，这本书仍是我们教育下一代的重要书籍。 这本书中所讲的定理现在的中学生都知道，然而在泰勒的时代，却不被人们知晓。因为泰勒用阴影测量金字塔高度，所以他需要了解一些关于三角形的性质。首先，等腰三角形的两个底角相等，换言之，一个三角形有两个相等的角，它们对应的边也一定相等；其次，三角形的内角和为180°。因为泰勒知道三角形这两个性质，所以他能判断：当自己的身高和影子等高时，太阳与地面的夹角为45°，并得出那时金字塔的塔高与阴影等高的结论。 当阳光明媚时，单独的大树的阴影并不会和相邻的其他大树的阴影交叉，所以，利用这种办法测量这棵大树的高度比较简便。但这种办法并不适合运用在纬度较高的地方。原因在于，纬度较高的地方，太阳升起的高度比较低，测量物体高度只能在正午前后一段很短的时间内进行，不像低纬度的埃及有充裕的时间选择。因此，泰勒采用的这种办法并不是放之四海而皆准的。 现在，我们可以巧妙地利用相似三角形的性质。我们稍微调整一下刚才使用的办法——使得在太阳照耀的有利条件下更好地测量高度。为此，我们不仅要知道阴影的长度，还要知道另一个物体，如木杆的长度，如此，就能测算出所需测量物体的高度了（图1-1）。 AB∶BC = ab∶bc 图1-1?利用阴影测量树的高度 由相似三角形的性质可知，树影和树高的比值与身影和身高的比值相等，所以知道了BC、ab、bc就可以方便地计算AB的高度了。 此时此刻，作为读者的你是不是有这样的疑问：如此浅显的道理，是不需要几何学来引证的，即便是没有几何学，我们同样能知道，在相同时刻树高与树影是同一比值。然而，亲爱的读者，你未免想得太过简单了。不信？你可以把这个规则应用在街头路灯照射下物体的高度上，现在，你是否发现这个规则就不适用了。从图1-2中我们可以清楚地看到：大木柱AB的长度是小木柱ab的3倍，但是大木柱的阴影BC是小木柱阴影bc的8倍。想知道为什么是这样的结果吗？为什么非常适合于上一个情形的方法却在这种情形中讲不通？如果你想解决这个问题，就需要学习几何学的知识。 图1-2?灯光照射下的高度与阴影 【题】我们来分析一下两种情况下的不同。在肉眼范围内可以看到，太阳光是平行的光线，而路灯光与太阳的平行光线不同，它是放射状的光线。因此，我们会产生疑问：为什么太阳的光线是平行的呢？太阳光线不都是以太阳为原点向外散发吗？图1-2这种测量方法适用于什么情形呢？ 【解】由于每条太阳光线角度太小，即使用最精准的仪器都无法测量，因此我们把太阳光视作平行光。为了解释这一点，我们需要运用一个很简单的几何学知识。首先，假定太阳光是以太阳为原点向外散发的，现在我们选择两道光线为例。这两条光线投射到地球上的两点距离为1000米。这就等于是：以太阳这个发光点为圆心，以太阳到地球的距离（150000000千米）为半径画圆，我们选取的两道光线之间的弧长为1000米，这个圆的周长为2π×150000000≈940000000千米。 计算得出：这1000米的弧长对应的角度只有秒。因为这个角度太微不足道，即使用现在世界上最先进和精准的仪器都难以测量出来，所以，把太阳光视作平行光线也是可行的。 因此，假如没有几何学作为支持，前文中提到的利用阴影测量高度的方法就没有任何依据了。 ★名作者、众多顶级名校名师点评推荐 作者雅科夫·别莱利曼俄国著名科普作家。他一生著有105部作品，其中大部分是趣味科学读物。在半个多世纪以来，其作品深受欧美以及中国读者的欢迎，被翻译成多国语言在世界各地再版无数次，至今依然在全球范围再版发行，深受全世界读者的喜爱。 北京市育英学校数学教师，特级教师杨梅、北京市海淀区教师进修学校物理教研员，高级教师李俊鹏、河北省隆尧县实验中学物理教师，高级教师张虎岗、北京市育英学校，小学部和初中部任教数学学科高级教师贾艳菲、北京市育英学校，化学奥林匹克竞赛教练化学骨干教师梁国兴、北京市育英学校青年地理教师，天文奥林匹克竞赛优秀指导教师李轩。等众多国内各类教育名家倾情推荐。 ★让为读者匹配相应的几何学趣味游戏、趣味课堂 我们精心为读者提供精彩的几何学游戏，趣味课堂，让孩子更有趣地学习和体验几何学。让孩子真正感受到“几何，原来可以这么简单、自然、好玩！”